Crecimiento, máximos y mínimos
Un velocista no corre siempre igual de rápido: hay tramos donde acelera más y tramos donde acelera menos. La tasa de variación media es la herramienta para comparar, con un número, cómo de rápido cambia una función en distintos tramos.
Tasa de variación media
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 4x - 7$ en los intervalos $[-2, 1]$ y $[1, 5]$. A la vista de los resultados, ¿qué relación existe entre la tasa…
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 4x - 7$ en los intervalos $[-2, 1]$ y $[1, 5]$. A la vista de los resultados, ¿qué relación existe entre la tasa de variación media y la pendiente de una función afín?
Dada la función cuadrática $g(x) = x^2 - 6x + 8$, halla su tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$. ¿Qué indica el resultado obtenido sobre el valor de la…
Dada la función cuadrática $g(x) = x^2 - 6x + 8$, halla su tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$. ¿Qué indica el resultado obtenido sobre el valor de la función en los extremos del intervalo?
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un paciente desde que ingresa en urgencias viene dada por la fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, donde $t$ es el tiempo…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un paciente desde que ingresa en urgencias viene dada por la fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Calcula la tasa de variación media de la temperatura en las dos primeras horas ($t \in [0, 2]$).
Tres formas de medir el cambio
Un depósito contiene $40$ litros en el minuto $2$ y $60$ en el minuto $6$:
| Medida | Cálculo | Interpretación |
|---|---|---|
| Variación absoluta | $60-40=20$ L | Cuánto ha aumentado |
| Variación relativa | $(60-40)/40=0{,}5=50\,\%$ | Aumento respecto al valor inicial, que debe ser no nulo |
| Tasa de variación media | $(60-40)/(6-2)=5$ L/min | Cambio por unidad de tiempo |
En una gráfica, localiza ambos puntos y dibuja el segmento que los une. Su pendiente es $5$, pero eso no demuestra que cada minuto entraran cinco litros. Introduce en el graficador las funciones $y=5x+30$ e $y=40+1{,}25(x-2)^2$, restringe la observación a $[2,6]$ y comprueba que comparten los extremos y la TVM aunque cambian de manera distinta entre ellos.
Si partes de cero litros, la variación absoluta y la TVM siguen teniendo sentido, pero el porcentaje de aumento respecto de cero no está definido.
Crecimiento y decrecimiento
Sin necesidad de representarla gráficamente, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.
Sin necesidad de representarla gráficamente, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.
Si sabemos que la tasa de variación media de una función continua en el intervalo $[1, 4]$ es negativa, ¿podemos asegurar con total certeza que la función es…
Si sabemos que la tasa de variación media de una función continua en el intervalo $[1, 4]$ es negativa, ¿podemos asegurar con total certeza que la función es estrictamente decreciente en todo ese intervalo? Razona tu respuesta de forma teórica o mediante un ejemplo gráfico.
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba de modo que su altura en metros viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, donde $t$ es el tiempo en segundos.…
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba de modo que su altura en metros viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la tasa de variación media de la altura en los intervalos $[0, 2]$ y $[6, 8]$. Interpreta físicamente el significado y el signo de los resultados obtenidos.
El coste medio de producción de $x$ decámetros de un cable especial viene dado por la función $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (en euros). Calcula la tasa de variación media…
El coste medio de producción de $x$ decámetros de un cable especial viene dado por la función $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (en euros). Calcula la tasa de variación media del coste entre $x = 10$ y $x = 20$. ¿El coste medio crece o decrece en ese intervalo de producción?
Máximos y mínimos
En una parábola $y = ax^2+bx+c$, con $a\ne0$ y dominio $\mathbb R$, el vértice es su único extremo: máximo absoluto si $a<0$ (abre hacia abajo), mínimo absoluto si $a>0$ (abre hacia arriba). Su abscisa es $x_v = -\dfrac{b}{2a}$.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Escribe también las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Escribe también las coordenadas de sus máximos y mínimos relativos.
La siguiente tabla muestra los beneficios diarios (en cientos de euros) de un pequeño comercio durante una semana: | Día | L | M | X | J | V | S | D |…
La siguiente tabla muestra los beneficios diarios (en cientos de euros) de un pequeño comercio durante una semana:
| Día | L | M | X | J | V | S | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Beneficio | 4 | 8 | 5 | 2 | 6 | 9 | 3 |
Identifica en qué días se alcanzan los máximos y mínimos relativos de los beneficios durante esa semana, justificando tu respuesta en base al crecimiento y decrecimiento.
Halla las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indica si dicho vértice corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
Halla las coordenadas del vértice de la parábola de ecuación $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indica si dicho vértice corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
La gráfica adjunta muestra la concentración de un medicamento en la sangre de un paciente (en mg/L) en función del tiempo transcurrido (en horas) desde su…
La gráfica adjunta muestra la concentración de un medicamento en la sangre de un paciente (en mg/L) en función del tiempo transcurrido (en horas) desde su administración. Determina los intervalos donde la concentración aumenta y disminuye, e indica el momento en el que se alcanza la concentración máxima y su valor aproximado.
Optimización: encontrar el mejor valor
Una fábrica de bicicletas estima que sus beneficios mensuales, en miles de euros, siguen la función $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, donde $x$ es la cantidad de bicicletas…
Una fábrica de bicicletas estima que sus beneficios mensuales, en miles de euros, siguen la función $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, donde $x$ es la cantidad de bicicletas producidas en decenas de unidades. ¿Cuántas bicicletas deben fabricar para obtener el máximo beneficio posible? ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + 3$ alcance un máximo relativo en el punto $(2, 11)$.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + 3$ alcance un máximo relativo en el punto $(2, 11)$.
Un agricultor dispone de $240$ metros de valla para cercar un campo rectangular que colinda con un río recto. Si el lado que da al río no necesita ser vallado, expresa…
Un agricultor dispone de $240$ metros de valla para cercar un campo rectangular que colinda con un río recto. Si el lado que da al río no necesita ser vallado, expresa el área del campo en función de su anchura $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del campo para que el área encerrada sea la máxima posible?
Una compañía de autobuses cobra $30$ euros por billete y, a ese precio, logra vender $400$ billetes diarios. Un estudio de mercado indica que por cada euro que aumente…
Una compañía de autobuses cobra $30$ euros por billete y, a ese precio, logra vender $400$ billetes diarios. Un estudio de mercado indica que por cada euro que aumente el precio del billete, se venderán $10$ billetes menos. Expresa los ingresos diarios de la compañía en función del incremento del precio en euros, $x$. ¿Qué precio del billete maximiza los ingresos y cuántos billetes se venderán a ese precio?