Exercicis: Creixement, màxims i mínims

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 4x - 7$ en els intervals $[-2, 1]$ i $[1, 5]$. A la vista dels resultats, quina relació existeix entre la taxa de variació mitjana i el pendent d'una funció afí?

Donada la funció quadràtica $g(x) = x^2 - 6x + 8$, troba la seva taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 4]$. Què indica el resultat obtingut sobre el valor de la funció en els extrems de l'interval?

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina els seus intervals de creixement i decreixement. Escriu també les coordenades dels seus màxims i mínims relatius.

La taula següent mostra els beneficis diaris (en centenars d'euros) d'un petit comerç durant una setmana:

| Dia | L | M | X | J | V | S | D |

Identifica en quins dies s'assoleixen els màxims i mínims relatius dels beneficis durant aquesta setmana, justificant la teva resposta basant-te en el creixement i decreixement.

Troba les coordenades del vèrtex de la paràbola d'equació $y = -3x^2 + 12x - 5$. Indica si aquest vèrtex correspon a un màxim o a un mínim absolut de la funció.

Sense necessitat de representar-la gràficament, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) d'un pacient des que ingressa a urgències ve donada per la fórmula $T(t) = 38,5 + 0,2t - 0,1t^2$, on $t$ és el temps transcorregut en hores. Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura en les dues primeres hores ($t \in [0, 2]$).

Si sabem que la taxa de variació mitjana d'una funció contínua en l'interval $[1, 4]$ és negativa, podem assegurar amb total certesa que la funció és estrictament decreixent en tot aquest interval? Raona la teva resposta de forma teòrica o mitjançant un exemple gràfic.

En Marcos analitza el rendiment d'una màquina podadora municipal al llarg d'una jornada de $8$ hores. La quantitat de combustible consumit per hora (en litres) es modelitza mitjançant la funció $C(t) = -t^2 + 8t + 5$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de l'inici de la jornada ($t \in [0, 8]$). En estudiar el tram $[2, 6]$, en Marcos calcula:

A partir d'aquest resultat, conclou en el seu informe: «Atès que la taxa de variació mitjana és zero, el consum horari no ha variat en absolut entre l'hora $2$ i l'hora $6$, i s'ha mantingut estrictament constant en $17\text{ l/h}$ durant aquestes quatre hores».

1. a) Identifica l'error conceptual comès per en Marcos en interpretar la TVM.
2. b) Calcula el consum a l'hora intermèdia $t = 4$ i utilitza'l per a rebatre numèricament la seva afirmació.
3. c) Explica què significa realment que la TVM sigui igual a $0$ en aquest interval i què va passar en la realitat amb el consum entre $t = 2$ i $t = 6$.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra l'evolució de la temperatura $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) en una estació de Còrdova durant un dia calorós de maig, entre les $8:00$ ($t = 0$) i les $20:00$ ($t = 12$). Aquesta evolució s'ajusta a la funció quadràtica:

1. a) Calcula la taxa de variació mitjana de la temperatura en el tram del matí $[0, 4]$ (de $8:00$ a $12:00$) i en el tram de la tarda $[8, 12]$ (de $16:00$ a $20:00$). Expressa les unitats i interpreta el significat del signe obtingut en cada tram.
2. b) Determina a quina hora del dia es va assolir la temperatura màxima i quin va ser aquest valor.

Un projectil es llança verticalment cap amunt de manera que la seva altura en metres ve donada per la funció $h(t) = -5t^2 + 40t + 10$, on $t$ és el temps en segons. Calcula la taxa de variació mitjana de l'altura en els intervals $[0, 2]$ i $[6, 8]$. Interpreta físicament el significat i el signe dels resultats obtinguts.

Una fàbrica de bicicletes estima que els seus beneficis mensuals, en milers d'euros, segueixen la funció $B(x) = -0,5x^2 + 50x - 200$, on $x$ és la quantitat de bicicletes produïdes en desenes d'unitats. Quantes bicicletes han de fabricar per obtenir el màxim benefici possible? A quant ascendirà aquest benefici?

La gràfica adjunta mostra la concentració d'un medicament en la sang d'un pacient (en mg/L) en funció del temps transcorregut (en hores) des de la seva administració. Determina els intervals on la concentració augmenta i disminueix, i indica el moment en què s'assoleix la concentració màxima i el seu valor aproximat.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + 3$ assoleixi un màxim relatiu en el punt $(2, 11)$.

El cost mitjà de producció de $x$ decàmetres d'un cable especial ve donat per la funció $C(x) = \frac{400}{x} + 5x$ (en euros). Calcula la taxa de variació mitjana del cost entre $x = 10$ i $x = 20$. El cost mitjà creix o decreix en aquest interval de producció?

Estudia de forma analítica el creixement, el decreissement i els extrems relatius de la funció següent definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x \le -1 \\ -x^2 + 2x + 7 & \text{si } x > -1 \end{cases}$

El nombre d'usuaris connectats a una nova xarxa social creix segons la funció $U(t) = 100 \cdot 2^t$, on $t$ és el temps en mesos. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[0, 2]$ i $[2, 4]$. Compara els resultats i explica què passa amb el ritme de creixement de la xarxa social a mesura que passa el temps.

El perfil altimètric d'una etapa ciclista de muntanya s'aproxima mitjançant la gràfica adjunta. Identifica a quina distància de la sortida es troben els ports de muntanya (màxims relatius) i les valls (mínims relatius), indicant l'altitud aproximada en cada cas.

Durant el pas d'una borrasca atlàntica per Galícia, es monitora el volum d'aigua $V(t)$ (en hectòmetres cúbics, $\text{hm}^3$) acumulat en un embassament al llarg de $6$ dies ($t \in [0, 6]$). L'evolució respon a la funció:

1. a) Estima: Sense calcular encara la taxa de variació mitjana, observa la concavitat de la paràbola i indica raonadament si esperes que la TVM sigui més gran en el tram inicial $[0, 2]$ o en el tram intermedi $[2, 4]$. ¿Esperes que ambdues taxes siguin positives o que alguna sigui negativa? Justifica la teva predicció qualitativa.
2. b) Comprova: Calcula algebraicament la TVM en $[0, 2]$ i en $[2, 4]$ amb les seves unitats corresponents i confirma si la teva estimació era encertada.
3. c) Troba en quin dia ($t$) assoleix l'embassament el seu nivell màxim en aquest episodi i quants $\text{hm}^3$ emmagatzema. A partir d'aquest dia, ¿l'aigua embassada creix o decreix? Justifica-ho a partir de la gràfica teòrica de la funció.

Una petita almàssera cooperativa a Jaén calcula el cost mitjà de processament $C(x)$ per cada litre d'oli d'oliva verge extra (en euros) en funció del volum total produït $x$ (expressat en milers de litres, amb $x \in [1, 10]$). El model respon a una paràbola de la forma:

on $a$ i $b$ són coeficients desconeguts.

De la campanya anterior es coneixen dues dades:

1) La taxa de variació mitjana del cost en el tram $[1, 3]$ va ser de $-1,20$ € per cada mil litres addicionals produïts.

2) El cost mínim de processament per litre es va assolir exactament quan l'almàssera va produir $4000$ litres ($x = 4$).

1. a) A partir de l'abscissa del mínim, escriu una relació matemàtica entre els coeficients $a$ i $b$.
2. b) Utilitzant la definició algebraica de la TVM en $[1, 3]$, planteja una equació i determina els valors numèrics exactes d'$a$ i $b$.
3. c) Escriu la funció completa i calcula quin és el cost mínim per litre assolible, així com el cost per litre si es produïssin $10\,000$ litres ($x = 10$).

Un agricultor disposa de $240$ metres de tanca per a tancar un camp rectangular que linda amb un riu recte. Si el costat que dóna al riu no necessita ser tancat, expressa l'àrea del camp en funció de la seva amplada $x$. Quines han de ser les dimensions del camp perquè l'àrea tancada sigui la màxima possible?

Una companyia d'autobusos cobra $30$ euros per bitllet i, a aquest preu, aconsegueix vendre $400$ bitllets diaris. Un estudi de mercat indica que per cada euro que augmenti el preu del bitllet, es vendran $10$ bitllets menys. Expressa els ingressos diaris de la companyia en funció de l'increment del preu en euros, $x$. Quin preu del bitllet maximitza els ingressos i quants bitllets es vendran a aquest preu?

Es vol construir una finestra que tingui la forma d'un rectangle coronat per un semicercle. Si el perímetre total de la finestra (incloent-hi la base, els costats verticals i l'arc semicircular) ha de ser exactament de $8$ metres, determina l'amplada de la base que permet que l'àrea de la finestra sigui màxima, permetent així la major entrada de llum.

La taxa de variació mitjana d'una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ en l'interval $[-1, 1]$ és $2$, i en el mateix tipus de càlcul per a l'interval $[1, 3]$ resulta ser $10$. Sabent que la funció passa pel punt $(0, -3)$, determina la seva expressió algebraica completa i troba les coordenades exactes del seu vèrtex.

La gràfica mostra el creixement en altura de dues espècies de plantes, A i B, al llarg de $8$ setmanes en un hivernacle. Observant les corbes, determina en quin interval de temps la planta A va créixer més ràpid que la B (comparant les seves taxes de variació mitjana) i en quina setmana la diferència d'altura entre totes dues va ser nul·la.

El cost total diari de producció de $x$ decàmetres d'una tela especial en una fàbrica ve donat per la funció $C(x) = 2x^2 - 120x + 2500$ (en euros). D'altra banda, els ingressos diaris obtinguts per la venda d'aquests $x$ decàmetres segueixen la funció $I(x) = 80x$ (en euros). Escriu la funció que representa el benefici diari $B(x)$ i determina quants decàmetres s'han de fabricar i vendre perquè el benefici sigui màxim. De quant serà aquest benefici màxim?

Donada la funció $f(x) = \frac{k}{x^2 + 4}$, determina el valor del paràmetre $k$ sabent que el valor màxim absolut de la funció és $5$. Per a aquest valor de $k$, calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[0, 2]$ i en l'interval $[-2, 0]$. Quina propietat geomètrica de la funció justifica que els resultats tinguin signes oposats?

Demostra de forma algebraica, calculant la taxa de variació mitjana en un interval genèric $[x_1, x_2]$ (on $x_1 < x_2 < 0$), que la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = -\frac{4}{x}$ és estrictament creixent en l'interval $(-\infty, 0)$.

Una empresa de paqueteria urgent a Saragossa estudia la despesa de combustible $G(v)$ (en euros cada $100\text{ km}$) de les seves furgonetes de repartiment segons la seva velocitat mitjana de circulació $v$ (en $\text{km/h}$). El consum segueix el model:

A causa dels límits de trànsit i del tipus de via de l'itinerari assignat, la velocitat mitjana només pot oscil·lar en l'interval tancat $[30, 50]\text{ km/h}$.

Per determinar a quina velocitat mitjana s'obté la despesa mínima i a quina la despesa màxima, dos analistes proposen estratègies diferents:

• Estratègia A (Hugo): «Com que la paràbola està oberta cap amunt ($a > 0$), la despesa mínima se situa sempre en el vèrtex $v_v = -\dfrac{b}{2a}$. Calculem el vèrtex per al mínim, i per al màxim avaluem els extrems $v = 30$ i $v = 50$, quedant-nos amb el més gran».

• Estratègia B (Sara): «Primer hem de comprovar si el vèrtex pertany o no a l'interval permès $[30, 50]$. Si queda fora, la funció no canvia de sentit de creixement en el nostre trajecte, per la qual cosa tant el mínim com el màxim absoluts de l'interval seran obligatòriament en els extrems $v = 30$ i $v = 50$».

1. a) Calcula l'abscissa del vèrtex i analitza quin dels dos analistes té raó, explicant amb rigor matemàtic l'error de l'altre.
2. b) Justifica quin és el mètode general correcte per optimitzar qualsevol funció quadràtica quan el seu domini està restringit a un interval tancat $[a, b]$.
3. c) Aplica el mètode correcte per trobar la velocitat de despesa mínima, la de despesa màxima i la despesa en euros corresponent a cadascuna d'elles dins de l'interval permès.

En un habitatge unifamiliar de Toledo amb plaques solars per a autoconsum, la potència instantània generada $P(t)$ (en quilowatts, $\text{kW}$) durant un dia clar de primavera es modelitza mitjançant la funció:

on $t$ representa l'hora del dia en horari solar, per al tram diürn $t \in [8, 18]$.

Durant aquestes mateixes hores, l'habitatge manté un consum elèctric basal constant de $C = 1,6\text{ kW}$. La potència neta d'excedents abocada a la xarxa elèctrica per a la seva compensació ve donada per $E(t) = P(t) - C$.

1. a) Escriu l'expressió analítica simplificada de la funció d'excedents $E(t)$ i calcula raonadament l'interval horari en el qual l'habitatge aboca excedents a la xarxa (és a dir, quan $E(t) \ge 0$).
2. b) Determina a quina hora solar s'assoleix l'abocament màxim a la xarxa i el valor d'aquesta potència pic en $\text{kW}$. Justifica, sense calcular de nou el vèrtex de $P(t)$, per què l'hora de màxima producció solar de les plaques coincideix exactament amb l'hora de màxim abocament.
3. c) Calcula i interpreta la taxa de variació mitjana dels excedents en el tram $[10, 13]$ i en el tram $[13, 16]$. A partir dels resultats i dels seus signes, explica com varia el ritme de generació d'excedents abans i després del migdia solar.