Exercicis: Recta de regressió

L'equació de la recta de regressió del pes ($Y$, en kg) en funció de l'alçada ($X$, en cm) d'un grup d'estudiants és $y = 0,8x - 60$. Estima quin serà el pes aproximat d'un estudiant que mesura $170$ cm.

Calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ per a una distribució bidimensional de la qual es coneixen els paràmetres estadístics següents: la mitjana de $X$ és $\bar{x} = 5$, la mitjana de $Y$ és $\bar{y} = 12$, la variància de $X$ és $\sigma_x^2 = 4$ i la covariància és $\sigma_{xy} = 6$. Expressa el resultat en la forma $y = mx + n$.

Observa el diagrama de dispersió següent que mostra la relació entre les hores d'estudi setmanals ($X$) i la qualificació obtinguda en un examen ($Y$). La recta blava representa la recta de regressió de $Y$ sobre $X$. Estima gràficament quina qualificació aproximada obtindria un alumne que estudia $7$ hores.

En un estudi de mercat, la recta de regressió de les vendes ($Y$) sobre la inversió en publicitat ($X$) ve donada per l'equació $y = 2,5x - 4$. Si es sap que la inversió mitjana de les empreses analitzades és $\bar{x} = 6$, quin és el valor de les vendes mitjanes $\bar{y}$ de la distribució?

El coeficient de correlació lineal entre el nombre d'hores d'entrenament setmanal ($X$) i el temps registrat en una cursa d'obstacles ($Y$) és $r = -0,92$. La recta de regressió obtinguda és $y = -1,5x + 50$. Les dades de la mostra corresponen a atletes que entrenen entre $5$ i $15$ hores. Estima el temps per a un atleta que entrena $10$ hores i justifica si aquesta predicció es considera fiable.

En un estudi bidimensional, l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 0,2x + 15$. Sabent que la covariància calculada per a aquestes dades és $\sigma_{xy} = 3,5$, justifica breument si el pendent de la recta obtinguda és coherent amb el signe de la covariància.

S'ha analitzat la relació entre dues variables i s'ha obtingut com a recta de regressió de $Y$ sobre $X$ l'equació $y = -3x + 20$. És possible que el coeficient de correlació lineal d'aquesta distribució sigui $r = 0,85$? Raona la teva resposta basant-te en la relació entre el pendent i la correlació.

Les mitjanes de dues variables estadístiques són $\bar{x} = 10$ i $\bar{y} = 25$. Comprova matemàticament si la recta $y = 1,5x + 10$ pot ser la recta de regressió vàlida per a aquest conjunt de dades, meva/justificant la teva resposta mitjançant una propietat fonamental que han de complir totes les rectes de regressió.

A partir de les dades de l'AEMET en una comarca muntanyosa de la península Ibèrica, s'analitza la relació entre l'altitud del municipi ($X$, en centenars de metres) i la seva temperatura mitjana anual ($Y$, en $^{\circ}\text{C}$). Es registren localitats situades entre $400\text{ m}$ ($x = 4$) i $1800\text{ m}$ ($x = 18$). Els paràmetres obtinguts són: $\bar{x} = 10$ ($1000\text{ m}$), $\bar{y} = 12^{\circ}\text{C}$, $\sigma_x^2 = 16$ i la covariància és $\sigma_{xy} = -10,4$.

1. a) Abans de fer cap càlcul algebraic, raona quin ha de ser el signe del pendent i si esperes que en un poble situat a $1200\text{ m}$ ($x = 12$) la temperatura mitjana sigui més gran o més petita que la mitjana comarcal ($12^{\circ}\text{C}$).
2. b) Troba l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.
3. c) Estima mitjançant la recta la temperatura del poble situat a $1200\text{ m}$ i comprova si la teva deducció qualitativa inicial era encertada.

L'Álvaro analitza una mostra d'automòbils del mercat espanyol per estudiar la relació entre la potència del motor ($X$, en CV) i el consum mitjà de combustible ($Y$, en litres cada $100\text{ km}$). Disposa de les dades resum següents: $\bar{x} = 110\text{ CV}$, $\bar{y} = 5,8\text{ l/100 km}$, $\sigma_x^2 = 400$ i $\sigma_{xy} = 14$.

Per obtenir la recta de regressió de $Y$ sobre $X$, l'Álvaro planteja:

A partir del seu resultat, afirma: «Per cada cavall addicional de potència, el cotxe gasta uns $28,6$ litres més per cada $100\text{ km}$».

Identifica l'error conceptual en la fórmula de l'Álvaro, explica per què la seva conclusió no té cap mena de sentit a la pràctica i calcula l'equació correcta de la recta interpretant de manera adequada el nou valor del pendent.

Una empresa registra la despesa en publicitat $X$ (en milers d'euros) i els ingressos per vendes $Y$ (en milers d'euros) durant $4$ mesos consecutius. Els parells de dades $(x_i, y_i)$ obtinguts són: $(2, 5)$, $(3, 7)$, $(4, 9)$ i $(5, 11)$. Calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

La recta de regressió de la quantitat de gelats venuts ($Y$) en funció de la temperatura màxima diària a $^\circ\text{C}$ ($X$) és $y = 15x - 120$. Si per a demà es preveu una temperatura de $30^\circ\text{C}$, estima quants gelats es vendran. A més, si un altre dia es van vendre $255$ gelats, explica si és teòricament correcte utilitzar aquesta mateixa recta per estimar la temperatura que va fer o si el procediment rigorós exigiria calcular una altra recta diferent.

Es coneixen els paràmetres estadístics següents d'una distribució bidimensional: el coeficient de correlació és $r = 0,8$, la desviació típica de $X$ és $\sigma_x = 2$, la desviació típica de $Y$ és $\sigma_y = 5$, i el centre de gravetat és el punt $(12, 40)$. A partir d'aquestes dades, calcula l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$.

En un estudi sobre la longitud d'una molla elàstica ($Y$, en cm) en penjar-hi diferents pesos ($X$, en kg), s'han calculat les dues rectes de regressió. La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 2,5x + 10$ i la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ és $x = 0,39y - 3,8$. Calcula les coordenades exactes del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribució.

S'ha estudiat la relació entre l'antiguitat d'un model de cotxe ($X$, en anys) i el seu valor en el mercat de segona mà ($Y$, en milers d'euros). La recta de regressió obtinguda és $y = -1,2x + 18$. Si un cotxe té $5$ anys, quin és el seu valor estimat? A més, interpreta quin significat té en aquest context real l'ordenada a l'origen de la recta.

Observa els dos diagrames de dispersió, A i B, que mostren la relació entre dues variables i inclouen les seves rectes de regressió respectives. En quina de les dues distribucions serà més fiable realitzar una estimació de $Y$ a partir d'un valor de $X$ utilitzant la recta de regressió? Raona la teva resposta basant-te en el concepte visual de correlació i dispersió.

En una classe, la recta de regressió de la nota de Física ($Y$) sobre la nota de Matemàtiques ($X$) és $y = 0,9x + 0,5$. Després de revisar els exàmens, el professor detecta un error general i decideix sumar $1$ punt extra a totes les notes de Física. Quina serà la nova equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$? Raona la teva resposta.

Donada la taula de dades formada pels punts $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ i $(4, 7)$, s'ha calculat que l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 1,6x + 0,5$. Calcula el residu (o error d'estimació) corresponent a l'observació $x = 3$.

Segons l'Enquesta de Despesa Turística (EGATUR) elaborada per l'INE, s'analitza la relació entre la durada de les vacances ($X$, en dies) i la despesa total per persona ($Y$, en centenars d'euros) en una mostra representativa de turistes internacionals a Espanya, amb estades compreses entre $3$ i $15$ dies. Les dades resum són:

$\bar{x} = 8\text{ dies}$, $\bar{y} = 11$ ($1100\text{ €}$),

$\sigma_x = 3\text{ dies}$, $\sigma_y = 4$ ($400\text{ €}$) i $\sigma_{xy} = 10,8$.

1. a) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ i interpreta si la dependència lineal entre totes dues variables és feble, moderada o forta.
2. b) Determina l'equació de la recta de regressió de la despesa ($Y$) sobre els dies ($X$).
3. c) Estima la despesa total d'un turista que tingui prevista una estada d'$11$ dies i valora la fiabilitat d'aquesta estimació.
4. d) Un turoperador proposa fer servir aquesta mateixa recta per calcular la despesa d'un viatger que planeja residir-hi durant $60$ dies. Utilitzant els conceptes d'interpolació i d'extrapolació, justifica per què no és adequat aplicar el model en aquest cas.

En un estudi sociològic sobre hàbits d'oci juvenil, una taca de tinta ha esborrat les desviacions típiques i la covariància de dues variables numèriques, $X$ i $Y$. Tanmateix, a les conclusions impreses es llegeixen amb total claredat les dades següents:

• La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $y = 1,5x + 4$.

• La mitjana de la variable $X$ és $\bar{x} = 6$.

• La desviació típica de $X$ és $\sigma_x = 2$.

• El coeficient de correlació lineal és $r = 0,75$.

1. a) Dedueix les coordenades del centre de gravetat de la distribució, $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) A partir del pendent de la recta, esbrina el valor de la covariància $\sigma_{xy}$.
3. c) Reconstrueix el valor de la desviació típica de la variable $Y$ ($\sigma_y$).
4. d) Si a tots els valors observats de $Y$ se'ls sumessin $2$ unitats fixes (mantenint els valors de $X$ intactes), raona si el pendent de la recta de regressió augmentaria, disminuiria o es mantindria constant.

Es coneixen les equacions de les dues rectes de regressió d'una distribució bidimensional: $y = 0,5x + 2$ (recta de regressió de $Y$ sobre $X$) i $x = 1,28y - 1,56$ (recta de regressió de $X$ sobre $Y$). Calcula el coeficient de correlació lineal $r$, sabent que la correlació entre totes dues variables és positiva.

En una distribució bidimensional formada per $N$ dades, el centre de gravetat és el punt $(4, 6)$ i el pendent de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és $1,5$. Si s'afegeix a l'estudi una nova dada que coincideix exactament amb el punt $(4, 10)$, canviarà el valor del pendent de la recta de regressió? Demostra matemàticament la teva resposta analitzant com es modifiquen les fórmules de la covariància i la variància.

Demostra analíticament que si el coeficient de correlació lineal entre dues variables és perfecte ($r = 1$ o $r = -1$), l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i l'equació de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ coincideixen i representen la mateixa recta geomètrica.

La recta de regressió de $Y$ sobre $X$ d'un experiment té per equació $y = ax + b$. Si per un canvi d'escala definim una nova variable $Z = 3X - 2$, determina quin serà el pendent de la nova recta de regressió de $Y$ sobre $Z$. Expressa el resultat en funció del paràmetre original $a$.

En un assaig de laboratori, es mesura el volum d'un gas ($Y$) a diferents temperatures ($X$). La recta de regressió obtinguda després de l'anàlisi de les dades és $y = 0,4x + 22$. A més, es sap que la variància de les temperatures registrades és $\sigma_x^2 = 25$ i la variància dels volums és $\sigma_y^2 = 5$. A partir d'aquesta informació, calcula el coeficient de correlació $r$ i interpreta si el model lineal és un bon ajust per a aquestes dades.

Tenim una distribució bidimensional amb $100$ dades. La mitjana de $X$ és $50$ i la mitjana de $Y$ és $80$. La covariància és $120$ i la variància de $X$ és $60$. Després d'una revisió de qualitat, es descobreix que un dels parells de dades, concretament el punt $(50, 80)$, va ser registrat incorrectament per una fallada del sensor i es decideix eliminar de l'estudi. Calcula la nova equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ per a les $99$ dades restants i compara-la amb la recta original.

Dues variables estadístiques $X$ i $Y$ han estat estandarditzades, la qual cosa significa que les seves mitjanes són $\bar{x} = 0$ i $\bar{y} = 0$, i les seves desviacions típiques són $\sigma_x = 1$ i $\sigma_y = 1$. Expressa l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ utilitzant únicament el coeficient de correlació $r$. Quina forma geomètrica adopta la recta si totes dues variables són linealment independents?

En l'anàlisi d'un conjunt de dades, s'observa que la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ és completament horitzontal. Quin valor numèric exacte té la covariància $\sigma_{xy}$ en aquest cas? Quina conclusió estadística podem extreure sobre la relació lineal entre les variables $X$ i $Y$? Justifica la teva resposta utilitzant l'equació general de la recta de regressió.

Una associació de comerciants d'una ciutat espanyola vol preveure els ingressos anuals ($Y$, en milers d'euros) dels nous negocis en funció de la superfície útil del local ($X$, en $\text{m}^2$). La mostra d'establiments registrats té superfícies entre $50\text{ m}^2$ i $250\text{ m}^2$. Per estimar els ingressos d'un nou local de $140\text{ m}^2$, es debaten tres mètodes:

• Mètode 1: Assignar directament el valor de la mitjana mostral dels ingressos ($\bar{y}$) a qualsevol local, amb independència de la seva mida.

• Mètode 2: Utilitzar la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ avaluada en $x = 140$, sabent que el coeficient de correlació mostral és $r = 0,82$.

• Mètode 3: Aplicar una regla de tres proporcional prenent únicament com a referència el local més gran de la mostra ($250\text{ m}^2$ i $180$ mil euros de facturació).

1. a) Compara els avantatges i les limitacions de cada proposta i justifica quina és la més sòlida i rigorosa des del punt de vista estadístic.
2. b) Raona quina hipòtesi geomètrica implícita assumeix el Mètode 3 sobre l'ordenada a l'origen i explica per què sol fallar en economia.
3. c) Si el coeficient de correlació de la mostra hagués estat $r = 0,08$, raona si continuaries recomanant el mateix mètode triat a l'apartat a) o si algun dels altres dos passaria a ser més raonable.

Un equip d'analistes energètics creua registres de Red Eléctrica de España i de l'AEMET durant l'estiu per estudiar el consum diari d'energia elèctrica destinat a climatització ($Y$, en GWh) segons la temperatura màxima del dia ($X$, en $^{\circ}\text{C}$). S'estudien jornades amb temperatures màximes entre $24^{\circ}\text{C}$ i $42^{\circ}\text{C}$, i s'obté:

$\bar{x} = 32^{\circ}\text{C}$, $\sigma_x = 4^{\circ}\text{C}$, $\bar{y} = 90\text{ GWh}$, $\sigma_y = 10\text{ GWh}$ i $\sigma_{xy} = 32$.

1. a) Obtén la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i interpreta de manera quantitativa el significat pràctic del seu pendent.
2. b) Calcula el coeficient de correlació lineal $r$ i valora la fiabilitat de les prediccions del model.
3. c) En el mateix informe, un col·laborador observa que el nombre diari d'atencions mèdiques per deshidratació ($Z$) té una correlació de $r = 0,86$ amb el consum elèctric ($Y$), i proposa apagar els sistemes de climatització per reduir les urgències hospitalàries. Explica la fal·làcia lògica d'aquesta proposta diferenciant amb precisió entre correlació i causalitat, i identifica la variable oculta que influeix en totes dues.

Repte del tema. Afecta l'ús de les pantalles al nostre descans? Investiga-ho analitzant dades del teu entorn amb un full de càlcul o GeoGebra.

1. Recollida de dades i taula: Pregunta a $15$ persones del teu entorn les seves hores diàries de mòbil ($X$) i de son ($Y$). Elabora la taula de freqüències bidimensional i obtén les distribucions marginals d'ambdues variables.

2. Distribucions condicionades: Calcula la distribució condicionada de les hores de son per a aquells qui usen la pantalla més de $4$ hores diàries i compara-la amb la mitjana global. S'aprecien diferències a simple vista?

3. Covariància i regressió: A l'eina digital, troba la covariància ($\sigma_{xy}$) i interpreta el seu signe. Obtén la recta de regressió i estima de manera justificada quant dormiria algú amb $5,5$ hores de pantalla.

4. Informe final: Presenta un breu informe (una cara) amb el núvol de punts, la recta ajustada i les teves conclusions raonades sobre la fiabilitat de la predicció i l'impacte del mòbil en el descans.

Es valorarà:

• Organització rigorosa de les taules de doble entrada, distribucions marginals i condicionades.

• Càlcul i interpretació matemàtica correcta de la covariància i la recta de regressió mitjançant programari.

• Coherència, claredat i sentit crític en les conclusions de l'informe a partir de les dades obtingudes.