Inecuaciones de segundo grado
Una inecuación de segundo grado pregunta dónde una parábola queda por encima o por debajo del eje X. La forma más fiable de resolverla es con una tabla de signos; la más intuitiva es mirar directamente el dibujo de la parábola.
De la ecuación a la inecuación
En la gráfica, $x^2-2x-3=0$ en $x=-1$ y $x=3$ (las raíces). Entre esos dos valores la parábola está por debajo del eje ($y<0$); fuera de ese tramo está por encima ($y>0$).
La figura muestra la parábola $y = x^2 - 2x - 3$. Úsala para resolver la inecuación $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, explicando qué zona de la gráfica hay que mirar.
La figura muestra la parábola $y = x^2 - 2x - 3$.
Úsala para resolver la inecuación $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, explicando qué zona de la gráfica hay que mirar.
Resolver con tabla de signos
Resuelve la inecuación $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ factorizando el polinomio y estudiando el signo de los factores. Expresa la solución como un intervalo.
Resuelve la inecuación $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ factorizando el polinomio y estudiando el signo de los factores. Expresa la solución como un intervalo.
Resuelve la inecuación $(x - 1)(x + 3) > 0$ construyendo una tabla de signos.
Resuelve la inecuación $(x - 1)(x + 3) > 0$ construyendo una tabla de signos.
Un alumno resuelve así la inecuación $x^2 - 4x > 0$: «divido ambos miembros entre $x$ y queda $x - 4 > 0$, luego la solución es $x > 4$». Explica los dos errores que ha…
Un alumno resuelve así la inecuación $x^2 - 4x > 0$: «divido ambos miembros entre $x$ y queda $x - 4 > 0$, luego la solución es $x > 4$». Explica los dos errores que ha cometido (uno relacionado con el signo de $x$ y otro con las soluciones perdidas) y resuelve la inecuación correctamente.
Casos sin dos raíces
No siempre hay dos tramos "cortados": si el discriminante es $0$ o negativo, la parábola no cruza el eje dos veces, y entonces es siempre positiva, siempre negativa, o casi (salvo un punto).
Resuelve la inecuación $-x^2 + 6x - 5 > 0$. ¿Qué particularidad tiene respecto a las anteriores y cómo la resuelves?
Resuelve la inecuación $-x^2 + 6x - 5 > 0$. ¿Qué particularidad tiene respecto a las anteriores y cómo la resuelves?
Halla los valores de $k$ para los que la inecuación $x^2 + kx + 9 > 0$ se verifica para cualquier número real $x$. Pista: piensa en cuántas raíces reales debe tener el…
Halla los valores de $k$ para los que la inecuación $x^2 + kx + 9 > 0$ se verifica para cualquier número real $x$. Pista: piensa en cuántas raíces reales debe tener el polinomio para que eso ocurra.
Sistemas e inecuaciones reducibles
Como con las de primer grado, un sistema se resuelve haciendo la intersección de las soluciones de cada inecuación. Y algunas inecuaciones que parecen de segundo grado se simplifican a otra cosa: comprueba siempre si los términos en $x^2$ se cancelan.
Resuelve el sistema de inecuaciones $\begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ 2x + 1 > 3 \end{cases}$ y expresa la solución como un intervalo.
Resuelve el sistema de inecuaciones $\begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ 2x + 1 > 3 \end{cases}$ y expresa la solución como un intervalo.
a) Resuelve la inecuación $(x - 2)^2 + 3x \geq x^2 + 2$. b) Aunque en el enunciado aparece $x^2$, la inecuación no es de segundo grado: explica por qué y comenta si…
- a) Resuelve la inecuación $(x - 2)^2 + 3x \geq x^2 + 2$. b) Aunque en el enunciado aparece $x^2$, la inecuación no es de segundo grado: explica por qué y comenta si hacía falta usar el procedimiento de las inecuaciones cuadráticas.
Problemas: alturas, áreas y beneficios
En un espectáculo pirotécnico, la altura $h$, en metros, de un cohete a los $t$ segundos del lanzamiento viene dada por $h(t) = -5t^2 + 40t$. a) ¿En qué instantes se…
En un espectáculo pirotécnico, la altura $h$, en metros, de un cohete a los $t$ segundos del lanzamiento viene dada por $h(t) = -5t^2 + 40t$. a) ¿En qué instantes se encuentra el cohete exactamente a $60$ m de altura? b) ¿Durante cuánto tiempo está por encima de los $60$ m? c) ¿Cuánto dura el vuelo completo del cohete?
El beneficio semanal, en euros, que obtiene un taller de bicicletas al reparar $x$ bicis es $B(x) = -2x^2 + 80x$. a) ¿Para qué números de reparaciones semanales el…
El beneficio semanal, en euros, que obtiene un taller de bicicletas al reparar $x$ bicis es $B(x) = -2x^2 + 80x$. a) ¿Para qué números de reparaciones semanales el taller tiene beneficios? b) ¿Para cuáles el beneficio supera los $600\ \text{€}$? c) ¿Cuántas reparaciones semanales maximizan el beneficio?