Exercicis: Inequacions de segon grau

Resol l'inequació $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ factoritzant el polinomi i estudiant el signe dels factors. Expressa la solució com un interval.

Resol l'inequació $x^2 > 4$ i expressa la solució fent servir intervals.

Resol l'inequació $x^2 + 3x < 0$.

Resol l'inequació $(x - 1)(x + 3) > 0$ construint una taula de signes.

Resol l'inequació $2x^2 - 8 \geq 0$.

Resol l'inequació $x(x - 4) \leq 0$.

La figura mostra la paràbola $y = x^2 - 2x - 3$.

Utilitza-la per resoldre l'inequació $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, explicant quina zona de la gràfica s'ha de mirar.

Valora si és vertadera o falsa la següent afirmació: «la solució de l'inequació $x^2 < 9$ és $x < 3$». Justifica la teva resposta i dona la solució correcta.

La Lucía ha de resoldre la inequació $x^2 - 6x \geq 0$. Al seu examen escriu el procediment següent:

«Passo el terme $6x$ al segon membre sumant: $x^2 \geq 6x$.

Divideixo tots dos membres entre $x$: $\frac{x^2}{x} \geq \frac{6x}{x}$.

Per tant, la solució final és $x \geq 6$, que correspon a l'interval $[6, +\infty)$».

1. a) Explica detalladament quin error conceptual ha comès la Lucía en dividir tots dos membres entre $x$ i per què aquesta operació està prohibida quan no coneixem el signe de la incògnita.
2. b) Comprova amb un valor negatiu (per exemple, $x = -2$) que la desigualtat original sí que es compleix, demostrant així que la solució de la Lucía està incompleta.
3. c) Resol la inequació de manera correcta factoritzant el polinomi, elaborant la taula de signes per trams i expressant el conjunt solució com a unió d'intervals.

Una petita cooperativa agrícola de Cieza (Múrcia) comercialitza directament al públic caixes de préssecs de $5\text{ kg}$. El benefici setmanal net obtingut, $B(x)$ en centenars d'euros, depèn del preu de venda fixat per a cada caixa, $x$ (en euros), segons la funció:

La cooperativa necessita fixar un preu unitari que garanteixi no incórrer en pèrdues, és a dir, que compleixi la inequació $B(x) \geq 0$.

1. a) Planteja la inequació, troba les arrels de l'equació associada i construeix la taula de signes per determinar en quin interval de preus la cooperativa obté beneficis o almenys no perd diners.
2. b) A partir dels trams trobats, indica justificadament si la cooperativa tindria pèrdues o beneficis venent la caixa a $3$ € i venent-la a $12$ €.
3. c) Explica quin significat té en el mercat real que, per a preus molt elevats (per exemple, més d'$11$ € per caixa), el benefici torni a ser negatiu malgrat cobrar més per cada unitat.

Resol l'inequació $x^2 - 2x - 8 \geq 0$.

Resol la inequació $-x^2 + 6x - 5 > 0$. Quina particularitat té respecte a les inequacions amb el coeficient de $x^2$ positiu i com la resols?

Resol l'inequació $x^2 \leq 3x + 10$.

Resol el sistema d'inequacions $\begin{cases} x^2 - 9 \leq 0 \\ 2x + 1 > 3 \end{cases}$ i expressa la solució com un interval.

Es llança una pilota verticalment cap amunt i la seva altura, en metres, als $t$ segons és $h(t) = -5t^2 + 20t$, com es mostra a la figura.

1. a) Entre quins instants està la pilota per sobre dels $15$ m? b) Quant de temps dura el vol complet de la pilota?

Una parcel·la rectangular té una llargada que mesura $5$ m més que el doble de l'amplada. Si la seva àrea no supera els $150\ \text{m}^2$, quins valors pot prendre l'amplada de la parcel·la?

1. a) Resol l'inequació $(x - 2)^2 + 3x \geq x^2 + 2$. b) Encara que a l'enunciat apareix $x^2$, l'inequació no és de segon grau: explica per què i comenta si calia utilitzar el procediment de les inequacions quadràtiques.

Un alumne resol així l'inequació $x^2 - 4x > 0$: «divideixo tots dos membres entre $x$ i queda $x - 4 > 0$, per tant la solució és $x > 4$». Explica els dos errors que ha comès (un de relacionat amb el signe de $x$ i un altre amb les solucions perdudes) i resol l'inequació correctament.

Un equip tècnic de medi ambient monitora la qualitat de l'aigua a la ria de Huelva mitjançant una boia amb sensor tèrmic. El protocol de seguretat exigeix que un senyal acústic d'alarma s'activi únicament quan la temperatura de l'aigua $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) compleixi una inequació de segon grau.

Sabem que l'alarma roman apagada (rang de temperatura segur) exactament en l'interval obert $(12, 20)$, i s'encén tant si l'aigua baixa fins a $12\text{ }^{\circ}\text{C}$ o menys, com si puja fins a $20\text{ }^{\circ}\text{C}$ o més.

1. a) Escriu una inequació de segon grau de la forma $T^2 + bT + c \geq 0$ la solució de la qual sigui exactament el conjunt de temperatures en què l'alarma s'activa.
2. b) Si un nou protocol més exigent requereix que l'alarma s'activi quan la temperatura pertanyi a l'interval tancat $[14, 18]$, escriu una inequació de la forma $-T^2 + b'T + c' \geq 0$ que modeli aquesta nova condició.
3. c) Justifica com es relacionen els extrems dels intervals amb les solucions de l'equació de segon grau associada i per què canvia el sentit de la desigualtat segons el signe del coeficient principal.

Segons estudis de seguretat viària utilitzats per la Dirección General de Tráfico (DGT), la distància total d'aturada d'un turisme en asfalt sec i amb pneumàtics en bon estat (sumant la distància de reacció i la de frenada mecànica), mesurada en metres, s'aproxima segons la velocitat $v$ (en $\text{km/h}$) mitjançant l'expressió:

En una travessera urbana amb límit de $50\text{ km/h}$, un conductor observa un vianant creuant a $24$ metres de distància.

1. a) Estima raonadament, abans de fer càlculs exactes: calcula mentalment la distància de frenada aproximada per a $40\text{ km/h}$ i per a $60\text{ km/h}$. A partir d'aquests dos valors, dedueix si la velocitat màxima que evitaria l'atropellament estarà per sobre o per sota del límit legal de $50\text{ km/h}$.
2. b) Planteja la inequació de segon grau $d(v) < 24$ que determina les velocitats a les quals el vehicle aconsegueix aturar-se en menys de $24$ metres. Resol-la analíticament considerant les restriccions físiques reals de la velocitat ($v \geq 0$).
3. c) Comprova si l'interval de velocitats obtingut confirma la teva estimació prèvia i redacta una breu conclusió sobre el perill de circular a la velocitat màxima permesa ($50\text{ km/h}$) en comparació amb circular a $30\text{ km/h}$ en carrers amb visibilitat reduïda.

En un espectacle pirotècnic, l'altura $h$, en metres, d'un coet als $t$ segons del llançament ve donada per $h(t) = -5t^2 + 40t$. a) En quins instants es troba el coet exactament a $60$ m d'altura? b) Durant quant de temps està per sobre dels $60$ m? c) Quant dura el vol complet del coet?

Troba els valors de $k$ per als quals l'inequació $x^2 + kx + 9 > 0$ es verifica per a qualsevol nombre real $x$. Pista: pensa en quantes arrels reals ha de tenir el polinomi perquè això passi.

Resol l'inequació $x^4 - 13x^2 + 36 \leq 0$ utilitzant el canvi de variable $z = x^2$. Expressa la solució com a unió d'intervals.

Resol l'inequació $(x + 1)(x - 2)(x - 4) \geq 0$ construïnt una taula de signes amb les tres arrels.

Resol l'inequació $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$ estudiant els signes del numerador i del denominador. Explica per què $x = -2$ no podria formar part de la solució encara que la desigualtat fos no estricta.

El benefici setmanal, en euros, que obté un taller de bicicletes en reparar $x$ bicis és $B(x) = -2x^2 + 80x$. a) Per a quins nombres de reparacions setmanals el taller té beneficits? b) Per a quins el benefici supera els $600\ \text{€}$? c) Quantes reparacions setmanals maximitzen el benefici?

1. a) Resol per separat les dues inequacions del sistema $\begin{cases} x^2 - 6x + 5 \leq 0 \\ x > 6 \end{cases}$. b) La figura mostra la paràbola $y = x^2 - 6x + 5$ i la recta vertical $x = 6$: utilitza-la per interpretar el resultat. Té solució el sistema? Per què?

Es volen utilitzar $40$ m de tanca per tancar un corral rectangular aprofitant una paret existent com un dels costats llargs, com es mostra a la figura.

1. a) Expressa l'àrea del corral en funció de l'amplada $x$. b) Per a quins valors de $x$ l'àrea supera els $150\ \text{m}^2$? c) Quina és l'àrea màxima que es pot aconseguir i amb quina amplada s'assoleix?

En un estudi tècnic sobre la resistència de perfils d'alumini s'obtenen dues inequacions de segon grau que presenten casos particulars:

• Inequació 1: $x^2 - 8x + 16 > 0$

• Inequació 2: $-x^2 + 2x - 5 < 0$

Per resoldre-les es poden aplicar tres procediments:

• Mètode A: Trobar les arrels mitjançant la fórmula general, factoritzar el polinomi i elaborar una taula de signes per trams a la recta real.

• Mètode B: Calcular el discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ i interpretar la posició de la paràbola respecte a l'eix $X$ segons el signe del coeficient $a$.

• Mètode C: Reconèixer identitats notables o completar quadrats per analitzar el signe de l'expressió analíticament.

1. a) Per a la Inequació 1, justifica per què el Mètode C és molt més eficient i segur que el Mètode A. Aplica el Mètode C per resoldre-la i indica el seu conjunt solució amb precisió.
2. b) Per a la Inequació 2, justifica per què el Mètode B permet donar la solució gairebé de manera immediata. Fes el raonament corresponent i escriu el conjunt solució.
3. c) Explica detalladament per què el Mètode A (la taula de signes clàssica) sol induir a error els estudiants quan $\Delta \leq 0$, i argumenta quin avantatge conceptual aporta visualitzar la inequació com la posició d'una paràbola enfront de l'eix $X$.

Una nau logística situada a Antequera (Màlaga) projecta instal·lar panells fotovoltaics a la coberta per a autoconsum industrial. L'estalvi econòmic net mensual $A(n)$, en euros, en instal·lar $n$ panells solars ve donat pel model quadràtic:

(en el qual ja es descompta la quota mensual d'amortització i manteniment de la instal·lació).

La gerència imposa dues restriccions simultànies per autoritzar el projecte:

1. Rendibilitat: l'estalvi mensual net ha de ser com a mínim de $600$ € ($A(n) \geq 600$).

2. Seguretat estructural: el pes màxim suportat per la coberta limita el nombre total de panells a un màxim de $35$ unitats ($n \leq 35$).

1. a) Planteja la inequació associada a la condició de rendibilitat, transforma-la a la seva forma general igualada a zero i troba l'interval continu de valors reals de $n$ que compleixen $A(n) \geq 600$.
2. b) Tenint en compte que el nombre de panells ha de ser un nombre enter i combinant la rendibilitat amb la limitació de la coberta, determina el rang admissible de panells $[n_{\min}, n_{\max}]$ que l'empresa pot decidir instal·lar.
3. c) Calcula l'estalvi mensual obtingut instal·lant el mínim admissible de panells ($n_{\min}$) i compara'l amb l'estalvi obtingut instal·lant el màxim admissible de $35$ panells. A partir de la forma de la paràbola, justifica raonadament per què col·locar més panells no sempre produeix més estalvi econòmic a partir de cert llindar.

Repte del tema. Com optimitzar el consum elèctric de la teva llar per pagar el just? Converteix-te en auditor energètic usant dades reals de Red Eléctrica de España (REE).

1. Dades i model lineal: Consulta al web de REE (esios.ree.es) el preu mitjà del $\text{kWh}$ d'avui (ex. $0,14$ €/$\text{kWh}$) i el terme fix de la teva factura. Planteja una equació de primer grau per trobar el consum que genera una despesa exacta de $45$ €, i una inequació de primer grau per no superar aquest límit mensual.

2. Espai i segon grau: Planteja la col·locació de panells solars en una superfície rectangular d'amplada $x$ i llargada $x+3$. Resol una inequació de segon grau perquè la superfície ocupada no superi els $18\text{ m}^2$ ($x(x+3) \le 18$) i una equació quadràtica per fixar un cost d'estructura $20x^2 + 10x = 300$.

3. Cost mitjà i informe: Planteja una equació racional per calcular el cost mitjà per $\text{kWh}$ segons el consum. Representa les solucions a GeoGebra o en un full de càlcul i elabora una proposta raonada d'una pàgina per a la teva família.

Es valorarà:

• Plantejament i resolució correcta de les equacions i inequacions.

• Integració rigorosa de dades reals de REE i comprovació contextualitzada de solucions.

• Claredat de la proposta final i suport en GeoGebra o el full de càlcul.