Permutaciones
¿De cuántas formas pueden llegar a la meta 8 corredores? ¿Cuántas contraseñas distintas puedes formar con 7 dígitos sin repetir ninguno? Son preguntas de combinatoria: contar sin tener que hacer la lista entera. Vas a aprender a contar ordenaciones, que es la primera y más básica de las técnicas.
Contar con el principio de las ramas
Imagina que vas a sentar a 3 amigos (Ana, Berta y Carla) en 3 sillas en fila. Para la primera silla tienes 3 opciones. Elegida esa, para la segunda solo quedan 2 personas. Para la tercera, solo queda 1.
Cada rama del árbol es una forma distinta de sentarlos. El árbol tiene $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ caminos desde la raíz hasta una hoja: 6 ordenaciones posibles.
Fíjate en que al elegir una persona para una silla, esa persona ya no está disponible para las siguientes: el número de opciones baja de una en una. Eso es justo lo que distingue a una permutación.
Un locutor de radio local debe programar exactamente $5$ canciones diferentes durante la próxima hora de emisión. ¿De cuántas formas puede establecer el orden en el que…
Un locutor de radio local debe programar exactamente $5$ canciones diferentes durante la próxima hora de emisión. ¿De cuántas formas puede establecer el orden en el que sonarán las canciones?
Permutaciones de n elementos distintos
Siguiendo el mismo razonamiento del árbol, pero con $n$ elementos: para el primer lugar hay $n$ opciones, para el segundo $n-1$, para el tercero $n-2$, y así hasta que solo queda $1$ opción para el último lugar.
$$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$$Ese producto se llama factorial de $n$ y se escribe $n!$. Así que $P_n = n!$. Lo estudiarás con detalle en el siguiente apartado; aquí solo necesitas saber que se calcula multiplicando todos los números naturales desde $n$ hasta $1$.
En una competición de atletismo participan $8$ corredores en la final de los $100$ metros lisos. Si se asume que no pueden darse empates, ¿de cuántas formas distintas…
En una competición de atletismo participan $8$ corredores en la final de los $100$ metros lisos. Si se asume que no pueden darse empates, ¿de cuántas formas distintas pueden llegar a la meta y clasificarse?
En una galería de arte contemporáneo se van a exponer en línea $6$ cuadros de un mismo pintor a lo largo de una pared. ¿De cuántas formas diferentes pueden ordenarse…
En una galería de arte contemporáneo se van a exponer en línea $6$ cuadros de un mismo pintor a lo largo de una pared. ¿De cuántas formas diferentes pueden ordenarse visualmente las obras?
A veces conviene fijar una posición antes de contar las demás. Si una contraseña de 7 dígitos distintos (del 1 al 7) debe empezar siempre por el 7, ese primer dígito ya no cuenta como una opción libre: solo quedan los otros 6 dígitos para ordenar en las 6 posiciones restantes, es decir, $P_6 = 6! = 720$ contraseñas.
Cuatro amigos y tres amigas van al cine y compran entradas para siete butacas consecutivas en la misma fila. ¿De cuántas formas pueden sentarse si los cuatro chicos…
Cuatro amigos y tres amigas van al cine y compran entradas para siete butacas consecutivas en la misma fila. ¿De cuántas formas pueden sentarse si los cuatro chicos quieren estar juntos y las tres chicas también quieren estar juntas?
Permutaciones con elementos repetidos
¿Cuántas palabras distintas se pueden formar reordenando las letras de $SOL$? Las tres letras son distintas, así que es $P_3 = 3! = 6$: SOL, SLO, OSL, OLS, LSO, LOS.
Pero ¿y con las letras de $ANA$? Aquí hay una letra, la $A$, que aparece dos veces. Si tratases las dos "A" como si fuesen distinguibles ($A_1$ y $A_2$), tendrías $3! = 6$ ordenaciones, pero la mitad son indistinguibles entre sí al leerlas: $A_1NA_2$ y $A_2NA_1$ son, en realidad, la misma palabra ANA.
Calcula cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en castellano, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra $BIOLOGIA$.
Calcula cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en castellano, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra $BIOLOGIA$.
En el mástil de un barco de vela se quieren izar $7$ banderas para transmitir una señal a la costa. Se dispone de $3$ banderas rojas, $2$ azules y $2$ amarillas, todas…
En el mástil de un barco de vela se quieren izar $7$ banderas para transmitir una señal a la costa. Se dispone de $3$ banderas rojas, $2$ azules y $2$ amarillas, todas del mismo tamaño. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar combinando todas las banderas?
Permutaciones circulares
En una fila, el primer y el último puesto son distintos. En una mesa redonda no hay "primer asiento": lo único que importa es el orden relativo de unos respecto a otros. Por eso girar a todo el grupo un asiento no cuenta como una colocación nueva.
Un grupo de $5$ amigos acude a una pizzería a cenar y deciden sentarse alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse en los asientos?
Un grupo de $5$ amigos acude a una pizzería a cenar y deciden sentarse alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes pueden acomodarse en los asientos?