Exercicis: Permutacions

Simplifica l'expressió següent amb factorials sense usar calculadora: $\frac{12! \cdot 5!}{10! \cdot 7!}$.

En una competició d'atletisme participen $8$ corredors a la final dels $100$ metres llisos. Si s'assumeix que no hi pot haver empats, de quantes formes diferents poden arribar a la meta i classificar-se?

En una galeria d'art contemporani s'exposaran en línia $6$ quadres d'un mateix pintor al llarg d'una paret. De quantes formes diferents es poden ordenar visualment les obres?

Calcula quantes paraules diferents, tinguin o no sentit en català, es poden formar ordenant totes les lletres de la paraula $BIOLOGIA$.

Un grup de $5$ amics va a una pizzeria a sopar i decideixen seure al voltant d'una taula circular. De quantes maneres diferents poden acomodar-se als seients?

Una contrasenya de seguretat està formada pels dígits $1, 2, 3, 4, 5, 6$ i $7$, sense repetir-ne cap. Si la contrasenya ha de començar obligatòriament pel dígit $7$, quantes contrasenyes diferents es poden configurar en el sistema?

Al màstil d'un vaixell de vela es volen issar $7$ banderes per transmetre un senyal a la costa. Es disposa de $3$ banderes vermelles, $2$ blaves i $2$ grogues, totes de la mateixa mida. Quants senyals diferents es poden enviar combinant totes les banderes?

Un locutor de ràdio local ha de programar exactament $5$ cançons diferents durant la pròxima hora d'emissió. De quantes formes pot establir l'ordre en què sonaran les cançons?

En el sopar de graduació de 4t d'ESO, cinc amics s'asseuran a sopar al voltant d'una taula rodona de cinc places. Volen saber quantes maneres diferents hi ha d'ubicar-se, tenint en compte únicament qui s'asseu a l'esquerra i a la dreta de cadascú (és a dir, l'ordre relatiu). En Marcos calcula les possibilitats així: «Com que són $5$ persones per a $5$ seients, són permutacions ordinàries: $P_5 = 5! = 120$ maneres diferents». Explica per què el raonament d'en Marcos no és correcte per a una taula rodona, quin fenomen geomètric no ha tingut en compte i calcula la resposta correcta.

A l'estació d'esquí de Sierra Nevada (Granada), els operaris de pistes publiquen cada matí el comunicat de neu d'un sector senyalitzat amb $6$ balises consecutives al llarg del recorregut. Un dia concret de febrer, col·loquen exactament: $3$ balises que indiquen «neu pols», $2$ balises de «neu dura» i $1$ balisa de «neu humida».

1. a) Modela matemàticament la situació i calcula quantes seqüències visuals diferents de balises es poden formar al llarg d'aquesta baixada.
2. b) Explica per què a la fórmula cal dividir entre $3! \cdot 2! \cdot 1!$ en lloc de calcular simplement $6!$.

Quatre amics i tres amigues van al cinema i compren entrades per a set butaques consecutives a la mateixa fila. De quantes formes poden seure si els quatre nois volen estar junts i les tres noies també volen estar juntes?

Una formiga robòtica es mou per una quadrícula des del node $A$ fins al node $B$. Només pot desplaçar-se cap a la dreta o cap amunt seguint les línies de la quadrícula. Si per arribar de $A$ a $B$ ha de fer exactament $5$ passes a la dreta i $4$ passes cap amunt, quants camins diferents pot recórrer en total?

En una festa de fi de curs, $6$ amics se seuen al voltant d'una taula rodona. Dos d'ells, Adrián i Bruno, estan enfadats i han demanat expressament no seure junts. De quantes formes diferents es poden distribuir els $6$ comensals complint aquesta condició?

Determina el valor numèric de la incògnita $x$ en la següent equació algebraica amb factorials: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 72$.

Un hospital ha d'organitzar els torns de guàrdia d'una doctora durant una setmana completa ($7$ dies). Se li han d'assignar exactament $3$ torns de matí, $2$ torns de tarda i $2$ dies lliures. De quantes maneres diferents es pot planificar el seu horari setmanal?

Es volen formar nombres de $6$ xifres utilitzant exclusivament els dígits $3, 5$ i $8$. Si el dígit $3$ ha d'aparèixer exactament tres vegades, el dígit $5$ dues vegades i el dígit $8$ una vegada, quants dels nombres formats són parells?

En un prestatge de la biblioteca es col·locaran $4$ llibres de Matemàtiques, $3$ de Física i $2$ de Biologia. De quantes formes es poden ordenar si els llibres de cada matèria han d'estar agrupats obligatòriament entre si?

Quants anagrames (tinguin o no sentit) es poden formar amb totes les lletres de la paraula $PARALELOGRAMO$ en els quals les tres lletres $A$ apareguin de forma consecutiva formant un únic bloc?

A l'última etapa de La Vuelta Ciclista a España, es disputa una contrarellotge individual decisiva en la qual prenen la sortida els $8$ primers classificats de la classificació general. L'organització ha de decidir en quin ordre sortiran a la carretera aquests $8$ ciclistes.

1. a) Abans de fer cap càlcul matemàtic, fes una estimació intuïtiva: creus que el nombre total d'ordres de sortida possibles serà inferior a $5\,000$, rondarà entre $5\,000$ i $20\,000$, o superarà àmpliament les $20\,000$ opcions? Escriu i justifica breument la teva intuïció prèvia.
2. b) Modela la situació mitjançant permutacions per calcular el valor exacte de les possibles seqüències de sortida i comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada.
3. c) En vista del resultat numèric obtingut, reflexiona: per què la intuïció quotidiana sol subestimar tant el valor dels factorials a mesura que el nombre d'elements augmenta?

En un estudi de disseny gràfic de València estan creant un logotip lineal format per una fila de $6$ franges de color idèntiques en mida: unes són de color blau mediterrani i les restants són de color taronja valencià. L'equip creatiu comprova que, variant l'ordre de les franges, es poden dissenyar exactament $15$ logotips visualment diferents.

1. a) Planteja una igualtat o equació combinatòria que relacioni el nombre total de franges ($6$) i els factorials del nombre de franges blaves ($a$) i taronges ($n$) amb el resultat final de $15$ combinacions.
2. b) Dedueix quantes franges de cada color componen el disseny (troba totes les parelles de valors possibles per a $a$ i $n$, tenint en compte que $a + n = 6$) i justifica el resultat mitjançant el desenvolupament dels factorials corresponents.

Un dron de repartiment automatitzat ha d'anar des del magatzem $A$ fins al client $B$ en una ciutat amb carrers en quadrícula, movent-se només cap al Nord (cap amunt) i cap a l'Est (cap a la dreta). Al centre hi ha un parc rectangular que el dron té prohibit travessar o sobrevolar; tampoc pot recórrer cap tram de carrer del contorn del parc (tocar-ne una cantonada sí que està permès). Calcula el nombre total de trajectòries vàlides des de $A$ fins a $B$ evitant el parc.

Es vol fabricar un collaret encoformat ensamblant $8$ comptes esfèrics de diferents pedres precioses. Com que el collaret es pot cordar, girar lliurement sobre el coll i fins i tot capgirar-lo (posar-lo del revés), quants dissenys diferents de collarets es poden crear?

En una urna hi ha $4$ boles vermelles, $3$ boles verdes i $2$ boles blaves. S'extreuen totes les boles una a una i s'alineen sobre una taula. De quantes formes diferents poden quedar alineades si les dues boles blaves no poden estar en posicions adjacents?

Troba el valor de $n$ resolent la següent equació algebraica que involucra permutacions ordinàries: $P_{n} - 30 \cdot P_{n-2} = 0$.

Una professora proposa als seus estudiants el següent repte de probabilitat i combinatòria: "Tinc $5$ cartes dirigides a $5$ alumnes diferents i $5$ sobres amb els seus noms impresos. Si introdueixo les cartes en els sobres completament a l'atzar, una a cada sobre, de quantes formes possibles pot ocórrer que exactament $4$ alumnes rebin la carta equivocada i només $1$ rebi la correcta?".

Quants nombres de vuit xifres es poden formar utilitzant els dígits $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4$ de manera que tots els dígits senars apareguin en el nombre abans que qualsevol dígit parell?

Amb les lletres de la paraula $MURCIELAGO$, quantes paraules diferents de $10$ lletres es poden formar de manera que les vocals mantinguin sempre el seu ordre alfabètic original (és a dir, la $A$ abans que la $E$, la $E$ abans que la $I$, etc.), encara que no apareguin necessàriament en posicions consecutives?

Un torneig d'escacs es juga a un màxim de $10$ partides. El jugador que assoleixi primer $6$ victòries guanya el torneig (no hi ha empats possibles). Si el jugador $X$ acaba guanyant el torneig exactament en la desena partida, de quantes formes diferents pot haver-se desenvolupat la seqüència de victòries i derrotes al llarg de les $10$ partides?

En un plató de televisió es gravarà un programa de debat amb $6$ convidats asseguts en una mateixa fila de $6$ cadires: $3$ periodistes i $3$ científics. La producció del programa estableix una condició imprescindible: els $3$ periodistes no poden seure junts consecutivament (tots tres en un bloc continu). Per calcular quantes ordenacions vàlides hi ha, dos membres de l'equip proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (directe): Comptar per separat les configuracions en què els tres periodistes estan completament separats entre si i aquelles en què només dos d'ells queden junts.

• Mètode 2 (pel complementari): Calcular primer totes les ordenacions possibles dels $6$ convidats sense cap restricció i restar aquelles en què els $3$ periodistes s'asseuen junts formant un únic bloc.

Compara tots dos mètodes justificant quin és més avantatjós i segur d'aplicar en aquest cas. A continuació, calcula pas a pas el resultat final utilitzant el mètode que has seleccionat com a preferible i justifica per què en comptar el bloc de periodistes cal multiplicar per $3!$.

A l'estació d'Atocha (Madrid), un comboi de Rodalies de Renfe es compon de $8$ vagons acoblats en línia. En una campanya especial de transport sostenible, Renfe disposa de $4$ vagons estàndard de passatgers, $2$ vagons habilitats per a persones amb mobilitat reduïda (PMR) i $2$ vagons amb portabicicletes. Els vagons del mateix tipus són indistingibles entre si.

1. a) Modela la situació i calcula quantes composicions diferents es poden formar unint els $8$ vagons en fila.
2. b) Per motius d'operativa a les andanes, els tècnics de Renfe decideixen que els dos vagons amb portabicicletes han d'anar col·locats obligatòriament l'un al primer lloc (cap del tren) i l'altre a l'últim lloc (cua del tren). Calcula quantes formacions diferents de tren es poden muntar amb aquesta restricció.
3. c) Suposa ara que la normativa canvia i exigeix que els dos vagons amb portabicicletes vagin acoblats sempre junts, l'un immediatament darrere de l'altre, a qualsevol lloc de la formació. Raona, abans de calcular, si hi haurà més o menys possibilitats que a l'apartat b), i determina després el nombre exacte de formacions vàlides sota aquesta nova condició.