Propietats de les potències

Expressa com una única potència de base $5$ aplicant les propietats de les potències: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Redueix a una sola potència utilitzant les propietats adequades: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Escriu com una única potència aplicant les propietats de les operacions amb potències del mateix exponent: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Indica si l'afirmació següent és vertadera o falsa, justificant la teva resposta mitjançant les propietats de les potències: "El doble de $2^8$ és $4^8$".

Simplifica l'expressió algebraica següent deixant el resultat amb exponents positius: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Simplifica al màxim l'expressió algebraica següent, utilitzant les propietats de les potències i deixant el resultat sense exponents negatius: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Simplifica l'expressió algebraica següent, on $x$ i $y$ són nombres reals diferents de zero i $a, b$ són nombres enters positius:

$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$

Aplica les propietats de potències amb la mateixa base i expressa el resultat final utilitzant únicament exponents positius.

Sense utilitzar la calculadora, determina quina de les quantitats següents és més gran: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifica la teva resposta transformant una de les potències perquè totes dues tinguin la mateixa base.

Un alumne ha realitzat el desenvolupament algebraic següent per simplificar una expressió:

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Identifica si hi ha algun error en el seu raonament, explica'l detalladament i proporciona el resultat correcte aplicant de manera estricta les propietats de les potències.

Un rumor en un institut es propaga duplicant cada hora el nombre de persones que el coneixen. Si inicialment el coneixen $1000$ persones, expressa en forma de producte amb una potència el nombre de persones que el coneixeran al cap de $12$ hores i calcula el seu valor final.

Un capital s'inverteix a un interès compost anual tal que cada any els diners es multipliquen per $1,05$. Si la inversió inicial és de $2000$ €, escriu l'expressió en forma de potència que calcula el capital després de $t$ anys. Quants diners hi haurà després de $4$ anys?

Troba els valors de $x$ i $y$ que satisfan simultàniament les igualtats següents, utilitzant les propietats de les potències per transformar el sistema en un sistema d'equacions lineals:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$