Tendència i periodicitat
Un fàrmac s'elimina del cos a poc a poc, i la seva concentració s'acosta a un valor de repòs sense arribar mai a assolir-lo del tot; les marees, en canvi, repeteixen el mateix cicle dia rere dia. Dos comportaments a llarg termini completament diferents: la tendència cap a un valor i la periodicitat. Al Batxillerat, la tendència es formalitzarà com a límit a l'infinit; aquí es treballa la seva idea intuïtiva.
Tendència quan $x$ creix indefinidament
La gràfica següent mostra l'evolució de la temperatura d'una tassa de cafè acabat de servir al llarg del temps. A quin valor tendeix la temperatura quan el temps avança…
La gràfica següent mostra l'evolució de la temperatura d'una tassa de cafè acabat de servir al llarg del temps. A quin valor tendeix la temperatura quan el temps avança indefinidament? Com es diu matemàticament la recta horitzontal a la qual s'aproxima la corba?
Treiem una llauna de refresc de la nevera a $4^\circ\text{C}$ i la deixem sobre la taula del menjador, on la temperatura ambient es manté constant a $23^\circ\text{C}$.…
Treiem una llauna de refresc de la nevera a $4^\circ\text{C}$ i la deixem sobre la taula del menjador, on la temperatura ambient es manté constant a $23^\circ\text{C}$. A quina temperatura tendirà el refresc si el deixem allà durant diversos dies sense obrir?
El temps $t$ (en hores) que es triga a buidar el dipòsit de reg d'una finca agrícola depèn del nombre de bombes d'aigua idèntiques $n$ que es connectin simultàniament,…
El temps $t$ (en hores) que es triga a buidar el dipòsit de reg d'una finca agrícola depèn del nombre de bombes d'aigua idèntiques $n$ que es connectin simultàniament, segons la funció $t(n) = \frac{120}{n}$. Cap a quin valor tendeix el temps de buidatge si el nombre de bombes que utilitzem tendeix a infinit?
Tendència en models exponencials amb terme constant
La concentració d'un antibiòtic en la sang d'un pacient (mesurada en $\text{mg/L}$) després de $t$ hores des de la seva administració ve donada per l'expressió…
La concentració d'un antibiòtic en la sang d'un pacient (mesurada en $\text{mg/L}$) després de $t$ hores des de la seva administració ve donada per l'expressió matemàtica $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 5}$. Calcula la concentració a les $2\text{ hores}$, a les $10\text{ hores}$ i a les $100\text{ hores}$. A partir d'aquests resultats, quina és la tendència de la concentració a llarg termini?
La gràfica següent mostra l'altura d'un saltador de puenting* al llarg del temps, subjecta a l'oscil·lació de la corda elàstica. Analitza la gràfica i respon: quin és el…
La gràfica següent mostra l'altura d'un saltador de puenting al llarg del temps, subjecta a l'oscil·lació de la corda elàstica. Analitza la gràfica i respon: quin és el "període" temporal aproximat entre els dos primers rebots? Es pot considerar que és una funció estrictament periòdica? Cap a quin valor tendeix l'altura del saltador quan el temps tendeix a infinit i què representa físicament aquest valor?
Sigui una funció $f(x)$ definida en l'interval $[0, 4)$ mitjançant l'expressió algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabem a més que la funció és periòdica amb període $T = 4$…
Sigui una funció $f(x)$ definida en l'interval $[0, 4)$ mitjançant l'expressió algebraica $f(x) = x^2 - 2x$. Sabem a més que la funció és periòdica amb període $T = 4$ per a qualsevol valor de $x \ge 0$, i es compleix que $f(x+4) = f(x)$. Basant-te en aquestes propietats, calcula pas a pas el valor exacte de $f(2019)$.
Funcions periòdiques
Per obtenir $f(x)$ amb un $x$ allunyat de l'origen, se suma o es resta el període $T$ les vegades necessàries fins a arribar a un valor dins d'un cicle ja conegut: si $x = x_0 + n \cdot T$ amb $n$ enter, llavors $f(x) = f(x_0)$.
Sabent que una funció $f(x)$ és periòdica amb un període $T = 6$ i que, en el primer cicle, assoleix un valor de $f(2) = 5$, quin serà el valor de $f(20)$?
Sabent que una funció $f(x)$ és periòdica amb un període $T = 6$ i que, en el primer cicle, assoleix un valor de $f(2) = 5$, quin serà el valor de $f(20)$?
Donada la taula de valors següent d'una funció $g(x)$ obtinguda mitjançant un full de càlcul, quina creus que és la seva tendència quan la variable independent $x$…
Donada la taula de valors següent d'una funció $g(x)$ obtinguda mitjançant un full de càlcul, quina creus que és la seva tendència quan la variable independent $x$ tendeix a $+\infty$?
| $x$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $10000$ | $100000$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g(x)$ | $3,85$ | $3,98$ | $3,999$ | $3,9999$ | $3,99999$ |
Una funció periòdica té un període $T = 5$. Si coneixem els seus valors en el primer cicle: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ i $f(5) = 1$, calcula de…
Una funció periòdica té un període $T = 5$. Si coneixem els seus valors en el primer cicle: $f(1) = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) = 0$, $f(4) = -2$ i $f(5) = 1$, calcula de forma raonada el valor de $f(14)$.
La famosa nòria "London Eye" té un diàmetre aproximat de $120\text{ m}$. Els passatgers pugen a les cabines a la part més baixa, que es troba pràcticament a fregar de…
La famosa nòria "London Eye" té un diàmetre aproximat de $120\text{ m}$. Els passatgers pugen a les cabines a la part més baixa, que es troba pràcticament a fregar de terra ($0\text{ m}$). La nòria gira a velocitat constant i triga exactament $30\text{ minuts}$ a fer una volta completa. Quin és el període de la funció que descriu l'altura d'una cabina respecte al temps? A quina altura es trobarà un passatger al cap de $45\text{ minuts}$ d'haver pujat si no n'ha baixat?
Període de les funcions trigonomètriques
Les marees, les voltes d'una sínia o les oscil·lacions d'un pèndol es modelitzen amb funcions periòdiques, encara que només algunes responguin a una expressió trigonomètrica pura.
Classifica els fenòmens següents de la vida real segons es corresponguin amb funcions periòdiques o no periòdiques: L'alçada d'una persona al llarg de tota la seva vida.…
Classifica els fenòmens següents de la vida real segons es corresponguin amb funcions periòdiques o no periòdiques:
-
L'alçada d'una persona al llarg de tota la seva vida.
-
El moviment de l'agulla dels minuts en un rellotge de paret.
-
El saldo disponible en un compte corrent al llarg de l'any.
-
El cicle de les fases de la Lluna.
La taula de marees d'un port pesquer indica que la primera plenamar (marea alta) del dia es produeix a les 04:00 de la matinada i la següent baixamar (marea baixa) es…
La taula de marees d'un port pesquer indica que la primera plenamar (marea alta) del dia es produeix a les 04:00 de la matinada i la següent baixamar (marea baixa) es produeix a les 10:15 del matí. Suposant que el nivell del mar es comporta com una funció periòdica en què la pujada i la baixada duren el mateix, quin és el seu període en hores i minuts? A quina hora exacta es produirà la plenamar següent?
La població d'una espècie protegida en una reserva natural s'ha modelitzat mitjançant la funció $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, on $t$ és el temps…
La població d'una espècie protegida en una reserva natural s'ha modelitzat mitjançant la funció $P(t) = \frac{6000}{1 + 4 \cdot 0,75^t}$, on $t$ és el temps transcorregut en anys des de l'inici de l'estudi. Quina era la població inicial l'any $t=0$? Cap a quin valor tendeix la població a llarg termini quan $t \to +\infty$? Té sentit ecològic aquest límit?
Un far marítim de senyalització emet un centelleig de llum intensa que dura exactament $2\text{ segons}$, seguit d'un període de foscor total de $7\text{ segons}$,…
Un far marítim de senyalització emet un centelleig de llum intensa que dura exactament $2\text{ segons}$, seguit d'un període de foscor total de $7\text{ segons}$, repetint aquest cicle de forma ininterrompuda. Si el far s'encén per primera vegada a la nit a les 22:00:00, quin és el període d'aquesta funció luminosa? Estarà la llum encesa o apagada a les 22:01:15?
Torna al principi: La concentració del fàrmac mostra una tendència cap a l'asímptota $y=0{,}5$ ($C(t) \to 0{,}5$ quan $t \to \infty$), mentre que les marees descriuen una funció periòdica que repeteix els seus valors cada cicle d'aproximadament $12$ hores.