Funcions radicals
Un objecte que cau des d'una altura $h$ triga $t(h) = \sqrt{h/5}$ segons a arribar a terra. Aquesta funció té una peculiaritat que no tenien les rectes ni les paràboles: no està definida per a qualsevol $h$. No existeixen alçades negatives, i tampoc no existeix l'arrel quadrada d'un nombre negatiu. Abans d'utilitzar una funció radical cal esbrinar, sempre, on viu.
El domini: el radicand no pot ser negatiu
Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Determina el domini de definició de la funció $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Troba el domini de la funció $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Troba el domini de la funció $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Determina el domini de la funció $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Determina el domini de la funció $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Calcular imatges
Per trobar $f(a)$ se substitueix $x=a$ al radicand i es calcula l'arrel. Si el radicand surt negatiu, $a$ no pertany al domini: la imatge no existeix.
Donada la funció $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de les seves imatges per a $x = 5$ i $x = 13$.
Donada la funció $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de les seves imatges per a $x = 5$ i $x = 13$.
Calcula el valor de $x$ per al qual la funció $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ pren el valor $4$.
Calcula el valor de $x$ per al qual la funció $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ pren el valor $4$.
Translacions de $y=\sqrt{x}$
Donada la funció $f(x) = \sqrt{x}$, escriu l'expressió analítica de la funció $g(x)$ que resulta en desplaçar la gràfica de $f(x)$ tres unitats cap a la dreta i dues…
Donada la funció $f(x) = \sqrt{x}$, escriu l'expressió analítica de la funció $g(x)$ que resulta en desplaçar la gràfica de $f(x)$ tres unitats cap a la dreta i dues unitats cap amunt.
Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tingui com a domini l'interval $[-2, +\infty)$ i passi pel punt $(2, 4)$.
Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tingui com a domini l'interval $[-2, +\infty)$ i passi pel punt $(2, 4)$.
Punts de tall amb els eixos
Amb l'eix $Y$: es calcula $f(0)$, si $0$ és al domini. Amb l'eix $X$: es resol $f(x)=0$, elevant al quadrat tots dos costats per eliminar l'arrel.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Troba els punts d'intersecció entre la recta $y = x - 2$ i la funció radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprova que la solució obtinguda pertany al domini de totes dues…
Troba els punts d'intersecció entre la recta $y = x - 2$ i la funció radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprova que la solució obtinguda pertany al domini de totes dues funcions i satisfà l'equació original.
Funcions radicals en context real
L'arrel quadrada apareix sempre que una magnitud depèn del quadrat d'una altra i volem aïllar la segona: períodes de pèndols, velocitats de propagació, distàncies a l'horitzó.
El temps $t$ (en segons) que triga un objecte a caure des d'una altura $h$ (en metres) es pot aproximar mitjançant la funció $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. Quant de temps…
El temps $t$ (en segons) que triga un objecte a caure des d'una altura $h$ (en metres) es pot aproximar mitjançant la funció $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. Quant de temps trigarà a arribar a terra una pilota que es deixa caure des d'un pont de $45$ metres d'altura?
El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple ve donat per la funció $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, on $L$ és la longitud del fil en metres. Si volem construir un…
El període $T$ (en segons) d'un pèndol simple ve donat per la funció $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, on $L$ és la longitud del fil en metres. Si volem construir un pèndol que tingui un període d'exactament $2$ segons, quina longitud ha de tenir el fil? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).
La velocitat $v$ (en km/h) a la qual es propaga un tsunami a l'oceà depèn de la profunditat $d$ (en metres) de l'aigua, segons la funció $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si s'ha…
La velocitat $v$ (en km/h) a la qual es propaga un tsunami a l'oceà depèn de la profunditat $d$ (en metres) de l'aigua, segons la funció $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si s'ha detectat que un tsunami avança a una velocitat de $336$ km/h, a quina profunditat es troba l'oceà en aquest punt?
La distància $d$ (en km) a la qual es troba l'horitzó per a un observador situat a una altura $h$ (en metres) sobre el nivell del mar es pot aproximar mitjançant la…
La distància $d$ (en km) a la qual es troba l'horitzó per a un observador situat a una altura $h$ (en metres) sobre el nivell del mar es pot aproximar mitjançant la funció $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Si et trobes a la part superior d'un far a $10$ metres d'altura, quants metres addicionals hauries de pujar perquè la distància a l'horitzó visible es dupliqui?
El cost de producció $C$ (en euros) d'una fàbrica de components electrònics depèn del nombre d'unitats produïdes $x$ segons la funció $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$.…
El cost de producció $C$ (en euros) d'una fàbrica de components electrònics depèn del nombre d'unitats produïdes $x$ segons la funció $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Determina el domini de la funció en aquest context. Si el cost d'un lot ha sigut de $350$ euros, quantes unitats s'han produït?
Torna al principi: A la funció de caiguda $t(h) = \sqrt{h/5}$, la condició $h/5 \geq 0$ exigeix que $h \geq 0$: el domini matemàtic i físic és $[0, +\infty)$, la qual cosa confirma que no té sentit calcular temps per a alçades negatives.