Operacions amb polinomis
Si l'ingrés d'una empresa és $I(x) = 300x - 2x^2$ i el seu cost és $C(x) = 50x + 200$, el benefici $B(x) = I(x) - C(x)$ és un altre polinomi. Operar amb polinomis —sumar-los, multiplicar-los, dividir-los— és l'eina que converteix diverses fórmules en una sola, a punt per avaluar o factoritzar.
Suma, resta i producte de polinomis
Sumar o restar polinomis és reduir terme a terme els que són semblants. El signe menys d'una resta afecta tots els termes del segon polinomi.
Per multiplicar, cada terme del primer polinomi es multiplica per cada terme del segon; un rectangle d'àrees ho visualitza bé.
Donats els polinomis $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ i $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula l'expressió resultant de realitzar l'operació $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Donats els polinomis $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ i $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcula l'expressió resultant de realitzar l'operació $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Multiplica els polinomis $P(x) = x^2 - 3x + 2$ i $Q(x) = 2x - 5$. Expressa el resultat ordenat de major a menor grau.
Multiplica els polinomis $P(x) = x^2 - 3x + 2$ i $Q(x) = 2x - 5$. Expressa el resultat ordenat de major a menor grau.
Identitats notables
Són tres productes tan freqüents que convé reconèixer-los sense desenvolupar pas a pas: estalvien temps en operar i, a la inversa, són la primera eina per factoritzar.
Desenvolupa les expressions següents aplicant les identitats notables corresponents: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x - 5)^2$
Desenvolupa les expressions següents aplicant les identitats notables corresponents:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x - 5)^2$
Expressa els binomis següents com un producte de dos factors utilitzant la identitat notable de suma per diferència: a) $16x^2 - 25$ b) $9x^4 - 49$
Expressa els binomis següents com un producte de dos factors utilitzant la identitat notable de suma per diferència:
- a) $16x^2 - 25$
- b) $9x^4 - 49$
Opera i simplifica al màxim l'expressió algebraica següent: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Opera i simplifica al màxim l'expressió algebraica següent: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Divisió de polinomis
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ dona un quocient $C(x)$ i un residu $R(x)$ amb $D(x) = d(x)\cdot C(x) + R(x)$, igual que la divisió entera de nombres, i el residu té grau menor que el divisor (o és $0$).
Fes la divisió del polinomi $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomi $d(x) = x^2 + 2$. Indica clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi…
Fes la divisió del polinomi $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ entre el binomi $d(x) = x^2 + 2$. Indica clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi residu $R(x)$.
Comprova si el polinomi $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ és divisible pel binomi $(x^2 + 1)$ fent la divisió corresponent. En cas afirmatiu, escriu la factorització…
Comprova si el polinomi $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ és divisible pel binomi $(x^2 + 1)$ fent la divisió corresponent. En cas afirmatiu, escriu la factorització de $P(x)$ com a producte de dos polinomis.
La regla de Ruffini
Quan el divisor és de la forma $x - a$, hi ha un drecera molt més ràpida que la divisió general: la regla de Ruffini. Només es treballa amb els coeficients del dividend i el valor $a$.
Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escriu el quocient i el residu obtinguts.
Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre $(x - 2)$. Escriu el quocient i el residu obtinguts.
Sabent que en dividir un polinomi $P(x)$ entre $(x - 3)$ s'obté com a quocient $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ i com a residu $R = -7$, reconstrueix el polinomi $P(x)$ i…
Sabent que en dividir un polinomi $P(x)$ entre $(x - 3)$ s'obté com a quocient $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ i com a residu $R = -7$, reconstrueix el polinomi $P(x)$ i expressa'l en la seva forma desenvolupada.
El teorema del residu
Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la divisió del polinomi $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomi $(x + 2)$ tingui un residu igual a $10$. Utilitza el…
Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la divisió del polinomi $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ entre el binomi $(x + 2)$ tingui un residu igual a $10$. Utilitza el teorema del residu per justificar la teva resposta.
Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sigui divisible exactament per $(x - 2)$ i, alhora, deixi un residu de $-12$…
Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sigui divisible exactament per $(x - 2)$ i, alhora, deixi un residu de $-12$ en dividir-lo entre $(x + 1)$.
Operacions combinades i aplicacions
Els problemes reals encadenen diverses d'aquestes operacions: construir un polinomi amb les operacions de l'enunciat, simplificar-lo i, si cal, avaluar-lo o dividir-lo.
Un jardí rectangular té unes dimensions de $(2x + 5)$ metres de llargària i $(2x - 5)$ metres d'amplada. A l'interior es construirà una font quadrada de costat $(x - 1)$…
Un jardí rectangular té unes dimensions de $(2x + 5)$ metres de llargària i $(2x - 5)$ metres d'amplada. A l'interior es construirà una font quadrada de costat $(x - 1)$ metres, i la resta es cobrirà de gespa. Expressa l'àrea de la zona de gespa com un polinomi en $x$ simplificat.
El cost de producció de $x$ unitats d'un dispositiu electrònic ve donat pel polinomi $C(x) = 50x + 200$. El preu de venda al públic de cada unitat depèn de la quantitat…
El cost de producció de $x$ unitats d'un dispositiu electrònic ve donat pel polinomi $C(x) = 50x + 200$. El preu de venda al públic de cada unitat depèn de la quantitat fabricada i segueix l'expressió $p(x) = 300 - 2x$.
Troba el polinomi benefici $B(x)$, sabent que el benefici és igual als ingressos totals (quantitat per preu) menys els costos totals. Quin serà el benefici si es fabriquen i es venen $40$ unitats?
L'alçada en metres d'una pilota llançada verticalment en funció del temps en segons ve donada pel polinomi $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segona pilota, llançada des d'un…
L'alçada en metres d'una pilota llançada verticalment en funció del temps en segons ve donada pel polinomi $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una segona pilota, llançada des d'un altre punt, segueix una trajectòria descrita per $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Troba el polinomi $D(t)$ que representa la diferència d'alçada entre la primera i la segona pilota ($D(t) = H(t) - G(t)$). En quin instant $t$ es troben totes dues pilotes a la mateixa alçada?