Triangles semblants

Dos triangles tenen, respectivament, els angles següents: el primer té un angle de $45^\circ$ i un altre de $60^\circ$; el segon té un angle de $60^\circ$ i un altre de $75^\circ$. Determina si tots dos triangles són semblants justificant la teva resposta basant-te en els criteris de semblança.

Els costats d'un triangle mesuren $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ i $9\text{ cm}$. Sabent que un segon triangle és semblant a aquest i que el seu costat menor mesura $15\text{ cm}$, calcula la longitud dels altres dos costats del segon triangle.

Determina si els triangles $ABC$ i $DEF$ són semblants, sabent que els seus costats mesuren $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ i $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En cas afirmatiu, indica quin és el criteri utilitzat i la raó de semblança.

En un triangle $ABC$, es traça un segment $DE$ paral·lel a la base $BC$, de manera que el punt $D$ pertany al costat $AB$ i el punt $E$ al costat $AC$. Sabent que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ i $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triangle per calcular la longitud de la base $BC$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En la figura següent, els segments $DE$ i $BC$ són paral·lels. Les longituds vénen donades per expressions algebraiques: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, i $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales per plantejar una equació i calcular el valor numèric de $x$.

Per calcular l'altura d'un edifici, un estudiant col·loca un mirall pla a terra a $12\text{ m}$ de la base de l'edifici. En recular $1,5\text{ m}$ des del mirall, l'estudiant (els ulls del qual estan a $1,6\text{ m}$ del terra) pot veure exactament la part més alta de l'edifici reflectida en ell. Sabent que els angles d'incidència i reflexió en el mirall formen triangles rectangles semblants, calcula l'altura de l'edifici.

Per mesurar l'amplada d'un riu de voreres paral·leles, un topògraf es situa en un punt $A$ d'una vorera, just al davant d'un arbre $B$ a la vorera oposada. Camina $15\text{ m}$ per la vorera fins a un punt $C$ i hi clava un jaló. Després camina $3\text{ m}$ més fins al punt $D$, gira $90^\circ$ allunyant-se del riu i camina $4\text{ m}$ fins a un punt $E$, des del qual veu alineats el jaló $C$ i l'arbre $B$. Calcula l'amplada $x$ del riu.

La raó de semblança entre dos polígons semblants és $k = 2,5$. Si l'àrea del polígon menor és de $12\text{ cm}^2$, quina és l'àrea del polígon major?

Dues empreses fabriquen veles triangulars semblants per a vaixells de competició. El perímetre de la vela petita és de $12\text{ m}$ i el de la vela gran és de $18\text{ m}$. Si l'àrea de la vela petita és de $6\text{ m}^2$, quina és l'àrea de la vela gran?

Una piràmide de base quadrada té una altura de $12\text{ cm}$ i el costat de la seva base mesura $8\text{ cm}$. Es talla la piràmide per un pla paral·lel a la base, situat a $3\text{ cm}$ del vèrtex. Calcula l'àrea de la secció obtinguda i el volum de la piràmide deficient (la petita piràmide superior).

En un triangle rectangle de catets $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$, s'inscriu un quadrat de costat $x$ de manera que un dels vèrtexs del quadrat coincideix amb el vèrtex de l'angle recte del triangle, i el vèrtex oposat descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacte del costat del quadrat $x$.

Dos posts verticals d'altures $4\text{ m}$ i $6\text{ m}$ estan situats sobre un terra horitzontal, separats per una distància de $10\text{ m}$. Es tensa un cable recte des de la part superior de cada post fins a la base de l'altre. Calcula a quina altura $h$ del terra es creuen tots dos cables. Demostra si aquest resultat depèn o no de la distància que separa els posts.