Exercicis: Propietats de les potències

Expressa com una única potència de base $5$ aplicant les propietats de les potències: $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Calcula el valor de la potència següent i expressa el resultat en forma de fracció irreductible: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Redueix a una sola potència utilitzant les propietats adequades: $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Escriu com una única potència aplicant les propietats de les operacions amb potències del mateix exponent: $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Simplifica l'expressió algebraica següent deixant el resultat amb exponents positius: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Troba el valor de l'exponent $x$ perquè es compleixi la igualtat següent: $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.

Expressa el nombre $\frac{1}{128}$ com una potència de base $2$ utilitzant un exponent negatiu.

Indica si l'afirmació següent és vertadera o falsa, justificant la teva resposta mitjançant les propietats de les potències: "El doble de $2^8$ és $4^8$".

Mateo ha de simplificar l'expressió $2^4 \cdot 5^4$. Al seu examen escriu el procediment següent:

i justifica la seva resposta dient: «Multiplico les bases ($2 \cdot 5 = 10$) i sumo els exponents ($4 + 4 = 8$)».

1. a) Explica detalladament per què el raonament de Mateo vulnera el significat d'una potència com a producte reiterat de factors i quina regla ha barrejat per error.
2. b) Corregeix l'exercici aplicant la propietat adequada i calcula el valor numèric final.

Abans de fer cap compte amb llapis i paper, estima quin d'aquests dos nombres creus que és més gran: $A = 2^{30}$ o $B = 3^{20}$. Justifica breument la teva intuïció inicial tenint en compte que $A$ té un exponent més gran però una base més petita que $B$.

A continuació, comprova la teva predicció de manera rigorosa sense calculadora: utilitza la propietat de la potència d'una potència, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, per reescriure tots dos nombres de manera que tinguin el mateix exponent exterior i conclou quin és més gran.

Simplifica l'expressió següent factoritzant prèviament les bases i aplicant les propietats de les potències. Expressa el resultat com un producte de potències de bases primes: $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.

Un rumor en un institut es propaga duplicant cada hora el nombre de persones que el coneixen. Si inicialment el coneixen $1000$ persones, expressa en forma de producte amb una potència el nombre de persones que el coneixeran al cap de $12$ hores i calcula el seu valor final.

Una substància radioactiva redueix la seva massa a la tercera part cada dia que passa. Si avui tenim una mostra de $81$ grams, expressa mitjançant una potència de base $3$ la quantitat de substància que quedarà d'aquí a $6$ dies i calcula el resultat.

Simplifica al màxim l'expressió algebraica següent, utilitzant les propietats de les potències i deixant el resultat sense exponents negatius: $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Una empresa d'embalatges fabrica caixes amb forma cúbica. Si decideixen triplicar la longitud de l'aresta d'una caixa estàndard, per quin factor quedarà multiplicat el seu volum? Expressa el teu raonament utilitzant les propietats de la potència d'un producte.

Sense utilitzar la calculadora, determina quina de les quantitats següents és més gran: $3^{50}$ o $9^{20}$. Justifica la teva resposta transformant una de les potències perquè totes dues tinguin la mateixa base.

Resol l'equació exponencial següent expressant tots els termes com a potències de la mateixa base i operant amb els seus exponents: $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.

Un capital s'inverteix a un interès compost anual tal que cada any els diners es multipliquen per $1,05$. Si la inversió inicial és de $2000$ €, escriu l'expressió en forma de potència que calcula el capital després de $t$ anys. Quants diners hi haurà després de $4$ anys?

Per simplificar l'expressió $\frac{6^6}{2^4 \cdot 3^4}$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Elena agrupa primer els factors del denominador aplicant la propietat de potències amb el mateix exponent.

• Pablo descompon la base del numerador en factors primers i aplica la potència d'un producte.

1. a) Desenvolupa la simplificació pas a pas seguint el mètode d'Elena i, a continuació, seguint el de Pablo.
2. b) Compara tots dos procediments: quin resulta més ràpid i amb menys risc d'error en aquest cas? Canviaria la teva elecció de mètode si l'expressió inicial hagués estat $\frac{6^6}{2^4 \cdot 3^5}$? Justifica la teva resposta.

L'Institut Nacional de Ciberseguretat (INCIBE), amb seu a Lleó, analitza un protocol de difusió d'avisos urgents en centres educatius. En una fase inicial ($n = 0$) s'envia l'alerta a la direcció del centre. En cada fase successiva $n$, el nombre de nous receptors informats creix exponencialment seguint l'expressió $2^n$.

1. a) Si a la fase $n+3$ el nombre de nous receptors supera en $112$ persones el de la fase $n$, planteja l'equació corresponent.
2. b) Resol aquesta equació traient factor comú de la potència més petita de base $2$ per determinar el valor de la fase $n$.
3. c) Aplicant únicament el quocient de potències de la mateixa base, calcula quantes vegades és més gran el volum de nous receptors a la fase $n+3$ respecte a la fase $n$.

Simplifica l'expressió següent en què els exponents depenen del paràmetre $n$, treient factor comú si és necessari per poder operar: $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.

La catifa de Sierpinski és un fractal que es construeix a partir d'un quadrat. En cada iteració, cada quadrat sòlid es divideix en $9$ quadrats iguals i s'elimina el central. Si l'àrea inicial ($n=0$) és de $1\text{ m}^2$, en la primera iteració l'àrea restant és $\frac{8}{9}\text{ m}^2$. Expressa l'àrea restant després de $n$ iteracions fent servir potències. Calcula l'àrea que quedarà després de $5$ iteracions.

La llei empírica de Moore suggereix que el nombre de transistors en un microprocessador es duplica aproximadament cada $2$ anys. Si l'any 1970 un processador tenia $2000$ transistors, expressa el nombre de transistors l'any $1970 + t$ mitjançant una potència de base $2$. Utilitza aquesta propietat per estimar quants transistors tindria un processador l'any 2010.

Un alumne ha realitzat el desenvolupament algebraic següent per simplificar una expressió:

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Identifica si hi ha algun error en el seu raonament, explica'l detalladament i proporciona el resultat correcte aplicant de manera estricta les propietats de les potències.

Troba els valors de $x$ i $y$ que satisfan simultàniament les igualtats següents, utilitzant les propietats de les potències per transformar el sistema en un sistema d'equacions lineals:

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$

En astrofísica, la intensitat de la llum que rebem d'una estrella és inversament proporcional al quadrat de la distància a la qual ens trobem. Si ens allunyem a una distància $4$ vegades més gran de l'estrella, expressa mitjançant una potència d'exponent negatiu el factor pel qual es multiplica la intensitat de la llum original. Si la intensitat inicial era $I_0$, quina serà la nova intensitat en funció de $I_0$?

Simplifica l'expressió algebraica següent, on $x$ i $y$ són nombres reals diferents de zero i $a, b$ són nombres enters positius:

$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$

Aplica les propietats de potències amb la mateixa base i expressa el resultat final utilitzant únicament exponents positius.

Imagina que tens un full de paper de $0,1\text{ mm}$ de gruix. Cada vegada que plegues el full per la meitat sobre si mateix, el seu gruix es duplica. Expressa el gruix del full després de $n$ plecs mitjançant una potència. Si la distància mitjana de la Terra a la Lluna és d'aproximadament $384\,000\text{ km}$, planteja una equació utilitzant potències de $2$ per estimar quants plecs es necessitarien perquè el gruix del paper arribi a la Lluna (pots estimar el valor sabent que $2^{10} \approx 10^3$).

Dissenya una expressió fraccionària de la forma $\frac{a^x \cdot b^y}{c^z}$ que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

1. Les bases $a$, $b$ i $c$ són nombres compostos diferents que pertanyen al conjunt $\{4, 6, 8, 9, 12\}$.

2. Els exponents $x$, $y$ i $z$ són nombres enters diferents de zero, i almenys un d'ells ha de ser negatiu.

3. Cap exponent final de les potències no pot ser $0$.

4. Després de descompondre les bases en factors primers i aplicar les propietats de les potències, la fracció irreductible resultant ha de ser exactament $\frac{3}{2}$.

Mostra tot el procés deductiu que has seguit per trobar les bases i els exponents mitjançant les equacions dels exponents de les bases primeres $2$ i $3$.

Durant una sessió de repàs, David afirma: «Com que $2 \cdot 5 = 10$, qualsevol nombre generat per l'expressió $2^{n+2} \cdot 5^n$, per a qualsevol enter positiu $n$, acaba obligatòriament en dos zeros, perquè l'exponent del $2$ té un $+2$».

1. a) Estima i calcula el valor de l'expressió per a $n = 1$, $n = 2$ i $n = 3$. És correcta l'afirmació general de David?
2. b) Transforma algebraicament l'expressió $2^{n+2} \cdot 5^n$ mitjançant les propietats de les potències per escriure-la en la forma $k \cdot 10^n$, on $k$ sigui un nombre enter independent de $n$.
3. c) Recolzant-te en el teu desenvolupament de l'apartat b), explica quin és l'error conceptual de David, quants zeros té en realitat el nombre en funció de $n$ i quina és sempre la seva primera xifra significativa.