Triangles rectangles
El teorema de l'altura i el del catet no són només fórmules per memoritzar: són la base de tècniques reals per mesurar coses que no pots mesurar amb una cinta mètrica, des de l'altura d'un aerogenerador fins a l'amplada d'un riu. En aquest apartat els aplicaràs en context.
Repàs ràpid: altura i catet
En una teulada de dos aiguavessos que forma un angle recte al seu vèrtex superior, l'altura traçada des d'aquest vèrtex divideix la base (hipotenusa) en dos segments de…
En una teulada de dos aiguavessos que forma un angle recte al seu vèrtex superior, l'altura traçada des d'aquest vèrtex divideix la base (hipotenusa) en dos segments de $2\text{ m}$ i $8\text{ m}$. Aplica el teorema de l'altura per calcular l'altura màxima de la teulada.
Dos senyals de trànsit amb forma de triangle rectangle són semblants. El catet menor del senyal petit mesura $30\text{ cm}$ i la seva àrea és de $600\text{ cm}^2$. Si el…
Dos senyals de trànsit amb forma de triangle rectangle són semblants. El catet menor del senyal petit mesura $30\text{ cm}$ i la seva àrea és de $600\text{ cm}^2$. Si el catet menor del senyal gran mesura $60\text{ cm}$, quina és l'àrea del senyal gran?
Comprovar si dos triangles rectangles són semblants
Perquè dos triangles rectangles siguin semblants n'hi ha prou que tinguin proporcionals els dos catets, o un catet i la hipotenusa: l'angle recte ja el comparteixen.
Un fuster talla dues cunyes de fusta en forma de triangle rectangle. La primera té catets de $15\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$. La segona té una hipotenusa de…
Un fuster talla dues cunyes de fusta en forma de triangle rectangle. La primera té catets de $15\text{ cm}$ i $20\text{ cm}$. La segona té una hipotenusa de $50\text{ cm}$ i un catet de $30\text{ cm}$. Comprova matemàticament si totes dues cunyes són semblants.
Les dues cordes principals que subjecten el màstil central d'un envelat des de la part superior fins a terra formen un angle recte entre si. El màstil fa $4\text{ m}$…
Les dues cordes principals que subjecten el màstil central d'un envelat des de la part superior fins a terra formen un angle recte entre si. El màstil fa $4\text{ m}$ d'alçària i una de les cordes s'ancora a $3,2\text{ m}$ de la base del màstil. A quina distància de la base s'ancora l'altra corda?
El mètode del mirall
Un mirall pla a terra reflecteix els angles igual que els produeix: l'angle d'incidència és igual al de reflexió. Això crea dos triangles rectangles semblants —el dels teus ulls i el mirall, i el de l'objecte i el mirall— que permeten calcular altures inaccessibles sense pujar enlloc.
Per mesurar l'altura d'un aerogenerador, una enginyera col·loca un mirall pla a terra a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella recula $1,5\text{ m}$ des del mirall…
Per mesurar l'altura d'un aerogenerador, una enginyera col·loca un mirall pla a terra a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella recula $1,5\text{ m}$ des del mirall fins que veu el punt més alt de l'aerogenerador reflectit exactament al centre del mirall. Si els ulls de l'enginyera estan a $1,6\text{ m}$ de terra, calcula l'altura de l'aerogenerador.
Triangles superposats: billars i quadrats inscrits
Quan una figura amaga dos triangles rectangles que comparteixen un angle (i per tant són semblants), la proporció entre els seus costats resol problemes que a primera vista no semblen de semblança.
En una taula de billar, una bola ha de picar la banda i rebotar cap a un forat, formant dos triangles rectangles semblants. La bola està a $20\text{ cm}$ de la banda i…
En una taula de billar, una bola ha de picar la banda i rebotar cap a un forat, formant dos triangles rectangles semblants. La bola està a $20\text{ cm}$ de la banda i el forat a $60\text{ cm}$ de la mateixa banda. Si la distància horitzontal paral·lela a la banda entre la bola i el forat és de $100\text{ cm}$, a quina distància horitzontal des de la posició inicial de la bola s'ha de produir l'impacte a la banda?
En una peça de joieria, s'inscriu un quadrat de costat $x$ dins d'un triangle rectangle de catets $6\text{ mm}$ i $8\text{ mm}$, de manera que el vèrtex de l'angle recte…
En una peça de joieria, s'inscriu un quadrat de costat $x$ dins d'un triangle rectangle de catets $6\text{ mm}$ i $8\text{ mm}$, de manera que el vèrtex de l'angle recte del triangle coincideix amb un vèrtex del quadrat i el vèrtex oposat del quadrat descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilitzant la semblança de triangles.
Mesurar una amplada inaccessible: el mètode de la jalona
Per mesurar l'amplada d'un riu sense creuar-lo, s'usen dos triangles rectangles semblants construïts amb jalons en una sola riba: un de gran (fins a l'arbre de l'altra riba) i un de petit que sí que pots mesurar sencer.
Un topògraf vol calcular l'amplada d'un riu. Per fer-ho, es situa en una riba i observa un arbre a la riba oposada. Camina $30\text{ m}$ al llarg de la riba…
Un topògraf vol calcular l'amplada d'un riu. Per fer-ho, es situa en una riba i observa un arbre a la riba oposada. Camina $30\text{ m}$ al llarg de la riba (perpendicularment a la visual inicial) i col·loca un jaló. Després camina uns altres $6\text{ m}$ en la mateixa direcció, gira $90^\circ$ allunyant-se del riu i camina $4\text{ m}$ fins que veu el jaló alineat amb l'arbre. Quina és l'amplada del riu?
En un disseny arquitectònic, el perfil d'una teulada és un triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. L'altura traçada des del vèrtex de l'angle recte…
En un disseny arquitectònic, el perfil d'una teulada és un triangle rectangle recolzat sobre la seva hipotenusa. L'altura traçada des del vèrtex de l'angle recte divideix la hipotenusa en dos segments que estan en proporció $9:16$. Si l'altura mesura $6\text{ m}$, calcula el perímetre total del triangle que forma la teulada.