Proporcionalitat inversa

Indica quines de les parelles de magnituds següents són inversament proporcionals:

• La velocitat a la qual circula un tren i el temps que triga a recórrer una distància fixa.

• El nombre de quilos de pomes que compres i el preu total que pagues.

• El nombre d'obrers que treballen en una obra i els dies que triguen a acabar-la.

• L'edat d'una persona i la seva alçada.

• El cabal d'aigua que raja d'una aixeta i el temps necessari per omplir una piscina.

Completa la taula següent sabent que les magnituds $A$ i $B$ són inversament proporcionals, i calcula la constant de proporcionalitat $k$.

Un equip de $4$ pintors triga $6$ dies a pintar la façana d'un edifici. Si l'empresa decideix enviar només $3$ pintors, quants dies triguaran a fer exactament la mateixa feina?

Un cotxe circula a una velocitat constant de $90\text{ km/h}$ i triga $4$ hores a arribar a la seva destinació. Si en el viatge de tornada vol fer el mateix recorregut en $3$ hores, a quina velocitat constant ha de circular?

Un engranatge de $20$ dents està connectat a un motor i fa $30$ voltes per minut. Si està acoblat a un altre engranatge més petit que té $15$ dents, quantes voltes per minut farà aquest segon engranatge?

Reparteix la quantitat de $300$ € en parts inversament proporcionals als nombres $2$ i $3$.

Un avi decideix repartir $4500$ € entre els seus tres nets de manera inversament proporcional a les seves edats, que són $10$, $12$ i $15$ anys. Calcula la quantitat exacta de diners que correspon a cadascun dels nets.

Una aixeta $A$ és capaç d'omplir un dipòsit en $6$ hores, mentre que una aixeta $B$ l'ompliria en $4$ hores. Si totes dues aixetes s'obren simultàniament mentre el dipòsit està buit, quant de temps triguaran a omplir-lo? Expressa el resultat en hores i minuts.

Un dipòsit d'aigua per a reg disposa de dues aixetes d'ompliment i un desguàs. La primera aixeta l'ompliria mentre està buit en $4$ hores, i la segona aixeta l'ompliria en $6$ hores. Per la seva banda, el desguàs és capaç de buidar el dipòsit per complet en $8$ hores. Si el dipòsit està buit i s'obren els tres conductes simultàniament, quant de temps trigarà a omplir-se? Expressa el resultat en hores, minuts i segons.

Una empresa constructora calcula que una plantilla de $20$ obrers acabarà un edifici en $40$ dies. Després de $10$ dies de feina ininterrompuda, una vaga de transport de materials obliga a aturar l'obra durant $5$ dies. Per no incomplir el contracte, l'empresa decideix contractar més personal. Quants obrers addicionals caldrà contractar per acabar l'edifici en el termini total inicialment previst?

Un mecanisme industrial consta de tres engranatges $A$, $B$ i $C$ connectats en línia (el $A$ mou el $B$, i el $B$ mou el $C$). L'engranatge $A$ té $24$ dents, el $B$ té $36$ dents i el $C$ té $16$ dents. Si el motor fa girar l'engranatge $A$ a una velocitat de $120$ revolucions per minut (rpm), calcula la velocitat de gir de l'engranatge $C$. Influeix el nombre de dents de l'engranatge intermedi $B$ en la velocitat final de l'engranatge $C$? Justifica la teva resposta.

Tres socis d'un negoci s'han de repartir les despeses d'una reparació al local de manera inversament proporcional als anys d'antiguitat dels seus vehicles d'empresa, que són $2$, $4$ i $x$ anys. Si la despesa total de la reparació ascendeix a $1400$ € i es sap que el primer soci (el del vehicle de $2$ anys) ha hagut de pagar $800$ €, quina és l'antiguitat del cotxe del tercer soci i quant pagarà el segon?