Distància entre dos punts
Un radar, un GPS o un videojoc necessiten saber constantment «a quina distància està això d'allò». Al pla cartesià aquesta pregunta sempre es respon igual: amb el teorema de Pitàgores.
La fórmula de la distància
Calcula la distància exacta entre els punts $A(2, 3)$ i $B(5, 7)$ en el pla cartesià.
Calcula la distància exacta entre els punts $A(2, 3)$ i $B(5, 7)$ en el pla cartesià.
Un vaixell es troba en les coordenades $P(-4, 1)$ i un far en $Q(2, -7)$. Si cada unitat del pla equival a un quilòmetre, a quina distància en línia recta es troba el…
Un vaixell es troba en les coordenades $P(-4, 1)$ i un far en $Q(2, -7)$. Si cada unitat del pla equival a un quilòmetre, a quina distància en línia recta es troba el vaixell del far?
Troba la longitud del segment els extrems del qual són l'origen de coordenades $O(0, 0)$ i el punt $M(-8, 6)$.
Troba la longitud del segment els extrems del qual són l'origen de coordenades $O(0, 0)$ i el punt $M(-8, 6)$.
Perímetres i classificació de triangles
Amb la distància pots calcular el perímetre de qualsevol polígon (sumant la longitud dels seus costats) i comprovar si un triangle és equilàter, isòsceles o rectangle, sense necessitat de dibuixar-lo a escala.
Els vèrtexs d'un triangle són $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ i $C(1, 5)$. Calcula el perímetre d'aquest triangle sumant les longituds dels seus tres costats.
Els vèrtexs d'un triangle són $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ i $C(1, 5)$. Calcula el perímetre d'aquest triangle sumant les longituds dels seus tres costats.
En un plànol d'arquitectura, tres columnes principals es situaran en les coordenades $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ i $R(5, 0)$. Demostra matemàticament si el triangle que formen…
En un plànol d'arquitectura, tres columnes principals es situaran en les coordenades $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ i $R(5, 0)$. Demostra matemàticament si el triangle que formen aquestes tres columnes és isoscele.
Demostra, calculant les longituds dels tres costats i utilitzant el teorema de Pitàgores, que el triangle de vèrtexs $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ i $C(2, 4)$ és un triangle…
Demostra, calculant les longituds dels tres costats i utilitzant el teorema de Pitàgores, que el triangle de vèrtexs $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ i $C(2, 4)$ és un triangle rectangle.
Trobar punts a una distància donada
De vegades la distància és la dada i la incògnita és un punt: llavors es planteja l'equació de la distància i es resol.
La distància entre els punts $A(1, 2)$ i $B(x, 5)$ és d'exactament $5$ unitats. Troba els dos possibles valors de la coordenada $x$.
La distància entre els punts $A(1, 2)$ i $B(x, 5)$ és d'exactament $5$ unitats. Troba els dos possibles valors de la coordenada $x$.
Troba les coordenades de tots els punts situats sobre l'eix d'abscisses (eix X) que es trobin a exactament $10$ unitats de distància del punt $M(-6, 8)$.
Troba les coordenades de tots els punts situats sobre l'eix d'abscisses (eix X) que es trobin a exactament $10$ unitats de distància del punt $M(-6, 8)$.
Una canonada recta ha de connectar un pou situat en el punt $A(-3, 2)$ amb una bomba d'aigua $P$ que obligatòriament s'ha d'instal·lar sobre l'eix d'ordenades (eix Y).…
Una canonada recta ha de connectar un pou situat en el punt $A(-3, 2)$ amb una bomba d'aigua $P$ que obligatòriament s'ha d'instal·lar sobre l'eix d'ordenades (eix Y). Si per restriccions de pressió la longitud de la canonada ha de ser d'exactament $\sqrt{29}$ unitats, troba les possibles coordenades per a la bomba $P$.
Alineació i punts equidistants
Els vèrtexs d'un terreny amb forma triangular són $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ i $C(6, 3)$. Demostra primer que el terreny forma un triangle rectangle i, a continuació,…
Els vèrtexs d'un terreny amb forma triangular són $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ i $C(6, 3)$. Demostra primer que el terreny forma un triangle rectangle i, a continuació, calcula el seu perímetre i la seva àrea exacta.
Un sistema de reg automatitzat consta d'un aspersor circular amb centre a $C(x, y)$ que ha de regar per igual tres arbres situats en les coordenades $T_1(0, 0)$,…
Un sistema de reg automatitzat consta d'un aspersor circular amb centre a $C(x, y)$ que ha de regar per igual tres arbres situats en les coordenades $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ i $T_3(0, 8)$. Determina les coordenades en què s'ha de col·locar l'aspersor $C$ i quin serà el seu radi d'abast exacte.
Determina si els punts $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ i $C(7, 7)$ estan perfectament alineats. Per a fer-ho, calcula les distàncies $d(A,B)$, $d(B,C)$ i $d(A,C)$, i comprova si…
Determina si els punts $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ i $C(7, 7)$ estan perfectament alineats. Per a fer-ho, calcula les distàncies $d(A,B)$, $d(B,C)$ i $d(A,C)$, i comprova si es compleix la igualtat $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.
Torna al principi: Si un radar a l'origen $(0,0)$ detecta un vaixell a $(12, 5)$ km, la distància directa en línia recta es troba amb la fórmula: $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ km.