Quants menús diferents es poden demanar combinant un primer plat, un segon i una postres? Quantes contrasenyes hi ha amb 7 caràcters? Fer la llista completa a mà seria absurd. La combinatòria és la part de les matemàtiques que compta sense haver d'enumerar: al Batxillerat la necessitaràs constantment, sobretot en probabilitat. Aquest bloc et dona les eines bàsiques.
Un restaurant ofereix 4 primers, 3 segons i 5 postres. Per fixar un menú complet prens una decisió en cada etapa, i les decisions són independents entre si.
Practica★☆☆Sense començar
Un restaurant ofereix un menú del dia amb $4$ primers plats, $3$ segons plats i $5$ postres. De quantes maneres diferents es pot demanar un menú complet compost per un…
Un restaurant ofereix un menú del dia amb $4$ primers plats, $3$ segons plats i $5$ postres. De quantes maneres diferents es pot demanar un menú complet compost per un primer, un segon i unes postres?
Una marca de bicicletes fabrica un model que està disponible en $3$ mides diferents de quadre, $5$ colors i amb $2$ tipus de frens diferents. Quantes versions diferents…
Una marca de bicicletes fabrica un model que està disponible en $3$ mides diferents de quadre, $5$ colors i amb $2$ tipus de frens diferents. Quantes versions diferents d'aquest model de bicicleta hi ha al mercat?
El principi de la multiplicació també funciona quan el nombre d'opcions canvia d'una etapa a la següent, sempre que sàpigues quantes en queden a cada branca. Un diagrama d'arbre és la manera més clara de veure-ho.
Fixa-t'hi: després de treure una bola vermella, només queden 4 boles (2 de vermelles i 2 de blaves) per a la segona extracció, perquè no es torna a posar. El nombre d'opcions de la segona etapa depèn del que ha passat a la primera, però l'arbre continua tenint tantes branques finals com el producte de les opcions de cada nivell.
Practica★☆☆Sense començar
Dibuixa el diagrama d'arbre per a l'experiment que consisteix a tirar una moneda regular i, a continuació, tirar un dau amb forma de tetraedre (amb les cares numerades…
Dibuixa el diagrama d'arbre per a l'experiment que consisteix a tirar una moneda regular i, a continuació, tirar un dau amb forma de tetraedre (amb les cares numerades del $1$ al $4$). Quants resultats possibles té aquest experiment compost?
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Dos equips de bàsquet, Alfa i Beta, juguen una eliminatòria al millor de $3$ partits (el primer que aconsegueixi guanyar $2$ partits es classifica). Els empats no són…
Dos equips de bàsquet, Alfa i Beta, juguen una eliminatòria al millor de $3$ partits (el primer que aconsegueixi guanyar $2$ partits es classifica). Els empats no són possibles. Dibuixa el diagrama d'arbre amb tots els desenvolupaments possibles de l'eliminatòria. De quantes maneres diferents pot transcórrer la sèrie de partits?
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
En una urna hi ha $3$ boles vermelles i $2$ boles blaves. S'extreuen dues boles consecutivament i sense retornar-les a la urna (sense reemplaçament). Dibuixa el diagrama…
En una urna hi ha $3$ boles vermelles i $2$ boles blaves. S'extreuen dues boles consecutivament i sense retornar-les a la urna (sense reemplaçament). Dibuixa el diagrama d'arbre de l'experiment i calcula quants resultats diferents es poden obtenir si tenim en compte l'ordre d'extracció i el color de les boles.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Tan bon punt una tasca consisteix a anar col·locant elements i a cada etapa en queda un de menys disponible, apareix sempre el mateix producte: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$. Per la seva importància té nom i símbol propis.
Quan un factorial gran està dividit per un de més petit, no cal desenvolupar-ne cap de complet: se simplifica gairebé tot.
La mateixa idea funciona amb lletres: $\dfrac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1)$, perquè $(x+2)! = (x+2)(x+1) \cdot x!$.
Practica★☆☆Sense començar
Calcula el valor de les expressions numèriques següents utilitzant les propietats dels factorials: $\frac{8!}{6!}$ $4! + 3!$
Calcula el valor de les expressions numèriques següents utilitzant les propietats dels factorials:
Si tens més coloms que colomars, almenys un colomar tindrà dos coloms o més. Sembla evident, però és una eina de demostració molt potent: et permet garantir que alguna cosa es repeteix, sense necessitat de trobar el cas concret.
Practica★☆☆Sense començar
Al caixó d'una còmoda hi ha mitjons sols de $3$ colors diferents (negres, blancs i blaus). Si hi ha una apagada de llum i treus mitjons a les fosques, quin és el nombre…
Al caixó d'una còmoda hi ha mitjons sols de $3$ colors diferents (negres, blancs i blaus). Si hi ha una apagada de llum i treus mitjons a les fosques, quin és el nombre mínim de mitjons que has d'extreure per assegurar-te de tenir almenys un parell del mateix color?
En un institut hi ha $400$ estudiants matriculats. Justifica matemàticament per què pots assegurar que almenys dos alumnes fan els anys el mateix dia de l'any. Quants…
En un institut hi ha $400$ estudiants matriculats.
Justifica matemàticament per què pots assegurar que almenys dos alumnes fan els anys el mateix dia de l'any.
Quants alumnes es necessitarien com a mínim al centre per garantir que almenys tres d'ells comparteixen data d'aniversari? (Considera anys no de traspàs de $365$ dies).
S'elegeixen a l'atzar $5$ punts a l'interior d'un quadrat de costat $2\text{ cm}$. Demostra, utilitzant el principi del colomar, que sempre hi haurà almenys dos punts…
S'elegeixen a l'atzar $5$ punts a l'interior d'un quadrat de costat $2\text{ cm}$. Demostra, utilitzant el principi del colomar, que sempre hi haurà almenys dos punts que tinguin una distància entre ells menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divideix el quadrat en regions estratègiques).
Torna al principi: Si una contrasenya té 7 posicions i a cadascuna pots triar entre els 10 dígits (del 0 al 9), pel principi de la multiplicació hi ha $10^7 = 10\,000\,000$ combinacions possibles.
Resum
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat