Teorema de Tales
Rectes paral·leles que tallen dues rectes secants: sembla un dibuix abstracte de geometria, però és l'eina que fan servir topògrafs, fotògrafs i fins i tot astrònoms per mesurar sense apropar-s'hi. En aquest apartat dominaràs a fons el teorema de Tales: el seu enunciat, el seu recíproc i les seves aplicacions més pràctiques.
El teorema de Tales, amb precisió
Calcula el valor del segment desconegut $x$ en la figura següent, sabent que les rectes horitzontals són paral·leles entre si.
Calcula el valor del segment desconegut $x$ en la figura següent, sabent que les rectes horitzontals són paral·leles entre si.
Dues rectes secants són tallades per dues rectes paral·leles. En la primera recta secant, els segments determinats per les paral·leles mesuren $12$ cm i $15$ cm. En la…
Dues rectes secants són tallades per dues rectes paral·leles. En la primera recta secant, els segments determinats per les paral·leles mesuren $12$ cm i $15$ cm. En la segona recta secant, el segment corresponent al de $12$ cm mesura $8$ cm. Calcula la longitud del segment corresponent al de $15$ cm.
Triangles en posició de Tales
Quan el segment paral·lel talla els dos costats d'un triangle, els segments de cada costat són proporcionals. És el mateix teorema, aplicat a un triangle en lloc de a dues rectes soltes.
Els triangles de la figura estan en posició de Tales. Calcula les longituds dels costats $x$ i $y$.
Els triangles de la figura estan en posició de Tales. Calcula les longituds dels costats $x$ i $y$.
En un triangle $\Delta ABC$, es traça un segment $MN$ paral·lel al costat $BC$, de manera que $M$ pertany al costat $AB$ i $N$ al costat $AC$. Sabem que $AM = 4$ cm,…
En un triangle $\Delta ABC$, es traça un segment $MN$ paral·lel al costat $BC$, de manera que $M$ pertany al costat $AB$ i $N$ al costat $AC$. Sabem que $AM = 4$ cm, $MB = 2$ cm i $AN = 6$ cm. Calcula la longitud del costat complet $AC$.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
El recíproc de Tales
Això permet comprovar si unes rectes són paral·leles a partir de mesures, sense necessitat de fer servir un transportador ni una escaire.
Tres rectes paral·leles són tallades per dues rectes secants $r$ i $s$. En la recta $r$, els segments mesuren $3,5$ cm i $5$ cm. En la recta $s$, el segment corresponent…
Tres rectes paral·leles són tallades per dues rectes secants $r$ i $s$. En la recta $r$, els segments mesuren $3,5$ cm i $5$ cm. En la recta $s$, el segment corresponent al de $3,5$ cm mesura $4,2$ cm. Quant mesura el segment corresponent al de $5$ cm en la recta $s$?
Comprova si els segments determinats per tres rectes sobre dues secants són proporcionals. En la primera secant mesuren $15$ cm i $20$ cm. En la segona secant mesuren…
Comprova si els segments determinats per tres rectes sobre dues secants són proporcionals. En la primera secant mesuren $15$ cm i $20$ cm. En la segona secant mesuren $24$ cm i $32$ cm. Són paral·leles les tres rectes? Justifica la teva resposta fent servir el recíproc del teorema de Tales.
Dividir un segment en parts iguals
El teorema de Tales no només calcula longituds: és el mètode amb regle i compàs per dividir qualsevol segment en parts exactament iguals, sense haver de mesurar amb precisió decimal.
Explica els passos geomètrics necessaris per dividir un segment de $11$ cm en $5$ parts exactament iguals utilitzant regla, compàs i el teorema de Tales.
Explica els passos geomètrics necessaris per dividir un segment de $11$ cm en $5$ parts exactament iguals utilitzant regla, compàs i el teorema de Tales.
Ombres, cambres fosques i miralls
Un raig de llum que travessa un punt fix (un orifici, el centre d'un mirall) crea triangles semblants entre l'objecte real i la seva imatge o ombra. Aquest fenomen és la base de la cambra fosca, la fotografia i la mesura amb miralls.
En una càmera fosca, la llum entra per un petit orifici i projecta la imatge invertida d'un objecte a la paret del fons. Si un arbre de $4$ m d'altura es troba a $15$ m…
En una càmera fosca, la llum entra per un petit orifici i projecta la imatge invertida d'un objecte a la paret del fons. Si un arbre de $4$ m d'altura es troba a $15$ m de l'orifici, calcula l'altura de la imatge projectada $h$ si la profunditat de la càmera és de $0,3$ m.
Durant un eclipsi solar, la Lluna s'interposa exactament entre la Terra i el Sol, blocant la seva llum. Sabent que el diàmetre del Sol és aproximadament…
Durant un eclipsi solar, la Lluna s'interposa exactament entre la Terra i el Sol, blocant la seva llum. Sabent que el diàmetre del Sol és aproximadament $1,4 \times 10^6$ km i es troba a $1,5 \times 10^8$ km de la Terra, i que la Lluna està a $384000$ km de la Terra, calcula el diàmetre aproximat de la Lluna fent servir la semblança de triangles.
Rampes, xarxes i estructures
Qualsevol element que avança en línia recta i creua suports verticals regulars —una rampa, una xarxa de tennis, una teulada— genera triangles en posició de Tales amb els suports intermedis.
Una rampa d'accés per a cadires de rodes salva un desnivell de $1,2$ m en una distància horitzontal de $15$ m. Si es vol col·locar un suport vertical intermedi quan la…
Una rampa d'accés per a cadires de rodes salva un desnivell de $1,2$ m en una distància horitzontal de $15$ m. Si es vol col·locar un suport vertical intermedi quan la distància horitzontal recorreguda des de l'inici de la rampa és de $6$ m, quina ha de ser l'altura d'aquest suport?
En un partit de tennis, un jugador pica la pilota a una altura de $2,4$ m. La pilota viatja en línia recta, frega exactament la cinta superior de la xarxa (que està a…
En un partit de tennis, un jugador pica la pilota a una altura de $2,4$ m. La pilota viatja en línia recta, frega exactament la cinta superior de la xarxa (que està a $0,9$ m d'altura) i cau al camp contrari. Si la distància horitzontal des del jugador fins a la xarxa és de $12$ m, a quina distància de la xarxa botarà la pilota?
En l'estructura d'una teulada a dues aigües, es col·loca un puntal vertical de reforç. La base de la teulada mesura $10$ m en total (del centre al'alera hi ha $5$ m).…
En l'estructura d'una teulada a dues aigües, es col·loca un puntal vertical de reforç. La base de la teulada mesura $10$ m en total (del centre al'alera hi ha $5$ m). L'altura màxima al centre és de $3$ m. Si el puntal es col·loca a $1,5$ m del centre cap a l'alera, quina ha de ser la seva longitud?
El teorema de la paral·lela mitjana
En un trapezi $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm i $CD = 15$ cm, es traça un segment $MN$ paral·lel a les bases, amb $M$ a $AD$ i $N$ a $BC$. Sabem que el segment $MN$…
En un trapezi $ABCD$ de bases $AB = 25$ cm i $CD = 15$ cm, es traça un segment $MN$ paral·lel a les bases, amb $M$ a $AD$ i $N$ a $BC$. Sabem que el segment $MN$ divideix els costats no paral·lels en la proporció $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segment $MN$. (Pista: Traça una paral·lela a un dels costats oblics des d'un vèrtex).
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Demostra, fent servir el recíproc del teorema de Tales, que el segment que uneix els punts mitjans de dos costats d'un triangle qualsevol és paral·lel al tercer costat.…
Demostra, fent servir el recíproc del teorema de Tales, que el segment que uneix els punts mitjans de dos costats d'un triangle qualsevol és paral·lel al tercer costat. Si el tercer costat mesura $L$, quina és la longitud d'aquest segment en funció de $L$? Argumenta la teva resposta basant-te en la semblança de triangles.