Polinomi de segon grau. Paràboles
Un polinomi de segon grau, $ax^2+bx+c$, genera com a funció una corba amb una propietat que cap polinomi de grau $1$ no té: un extrem (màxim o mínim) absolut. Aquesta secció obté algebraicament les característiques d'aquesta corba —la paràbola— a partir dels coeficients $a$, $b$ i $c$, sense dependre de representar-la punt per punt.
Funció quadràtica: forma general
Donada la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina les coordenades exactes del seu vèrtex i l'equació del seu eix de simetria.
Donada la funció quadràtica $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determina les coordenades exactes del seu vèrtex i l'equació del seu eix de simetria.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades (tant amb l'eix d'abscisses com amb l'eix d'ordenades) de la paràbola $y = -x^2 + 2x + 8$.
Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades (tant amb l'eix d'abscisses com amb l'eix d'ordenades) de la paràbola $y = -x^2 + 2x + 8$.
El vèrtex: deducció completant el quadrat
El vèrtex no s'obté per tempteig: es dedueix transformant $ax^2+bx+c$ en forma canònica.
Observa les tres paràboles representades en la figura següent. Associa cadascuna de les expressions analítiques amb la seva gràfica corresponent (A, B o C). 1)…
Observa les tres paràboles representades en la figura següent. Associa cadascuna de les expressions analítiques amb la seva gràfica corresponent (A, B o C).
1) $y = -x^2 + 2$
2) $y = x^2 - 4x + 4$
3) $y = x^2 - 4$
Sabent que la gràfica de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + c$ passa pels punts $(0, 3)$ i $(2, 11)$, planteja un sistema d'equacions i calcula els valors dels…
Sabent que la gràfica de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + c$ passa pels punts $(0, 3)$ i $(2, 11)$, planteja un sistema d'equacions i calcula els valors dels paràmetres $a$ i $c$.
Durant un entrenament, una jugadora de voleibol llança la pilota cap amunt. L'altura $h$ (en metres) que assoleix la pilota en funció del temps $t$ (en segons) ve donada…
Durant un entrenament, una jugadora de voleibol llança la pilota cap amunt. L'altura $h$ (en metres) que assoleix la pilota en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. Quina és l'altura màxima que assoleix la pilota i en quin instant exacte es produeix?
El discriminant i les arrels
El tall amb l'eix $Y$ és sempre únic: $f(0)=c$. El tall amb l'eix $X$ exigeix resoldre $ax^2+bx+c=0$, i el seu nombre de solucions depèn del discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
Indica cap on s'obren les branques de la paràbola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificant la teva resposta, i esbrina si el vèrtex d'aquesta funció correspon a un màxim o a un…
Indica cap on s'obren les branques de la paràbola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificant la teva resposta, i esbrina si el vèrtex d'aquesta funció correspon a un màxim o a un mínim absolut. Calcula les seves coordenades.
L'AFA de l'institut ven paperetes d'una rifa per finançar el viatge de fi de curs. Si cada papereta es ven a $x$ euros, els ingressos estimats (en desenes d'euros) venen…
L'AFA de l'institut ven paperetes d'una rifa per finançar el viatge de fi de curs. Si cada papereta es ven a $x$ euros, els ingressos estimats (en desenes d'euros) venen donats per la funció quadràtica $I(x) = -2x^2 + 48x$. A quin preu han de vendre les paperetes per maximitzar els ingressos? A quant ascendeixen aquests ingressos màxims?
Troba analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$ i la recta $y = -x + 3$.
Troba analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $y = x^2 - 4x + 3$ i la recta $y = -x + 3$.
Domini, recorregut i forma factoritzada
Determina l'expressió algebraica desenvolupada d'una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(2, -1)$ i que passa pel punt…
Determina l'expressió algebraica desenvolupada d'una funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(2, -1)$ i que passa pel punt $P(4, 3)$.
Observa la gràfica de la paràbola. Determina les coordenades del seu vèrtex i utilitza un punt addicional de la gràfica per deduir la seva expressió algebraica en la…
Observa la gràfica de la paràbola. Determina les coordenades del seu vèrtex i utilitza un punt addicional de la gràfica per deduir la seva expressió algebraica en la forma $y = a(x-h)^2 + k$. Finalment, desenvolupa-la a la forma $y = ax^2 + bx + c$.
Un agricultor vol construir un corral rectangular per a les seves gallines aprofitant un mur llarg de pedra ja existent, de manera que només necessita tancar tres dels…
Un agricultor vol construir un corral rectangular per a les seves gallines aprofitant un mur llarg de pedra ja existent, de manera que només necessita tancar tres dels quatre costats del rectangle. Disposa de $100$ metres de tanca metàl·lica. Determina les dimensions del corral perquè la seva àrea sigui la més gran possible i calcula aquesta àrea màxima.
Forma canònica, translacions i optimització
Com que la solució de qualsevol problema d'òptim (alçada màxima, àrea màxima, benefici màxim) modelitzat per una paràbola és al seu vèrtex, completar el quadrat o aplicar $x_v=-b/2a$ resol el problema sense necessitat de derivades.
Dibuixa un esbós de la gràfica de la funció $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Per fer-ho, troba primer el vèrtex i els punts de tall amb els eixos de la paràbola interior sense…
Dibuixa un esbós de la gràfica de la funció $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Per fer-ho, troba primer el vèrtex i els punts de tall amb els eixos de la paràbola interior sense el valor absolut, i explica analíticament com afecta el valor absolut a la representació final.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Donades les paràboles $y = x^2 - 2x - 3$ i $y = -x^2 + 4x + 5$, troba analíticament els punts exactes on es tallen. Calcula després la distància en línia recta entre els…
Donades les paràboles $y = x^2 - 2x - 3$ i $y = -x^2 + 4x + 5$, troba analíticament els punts exactes on es tallen. Calcula després la distància en línia recta entre els vèrtexs de totes dues paràboles.
Considera la família de paràboles donades per l'equació $y = x^2 - kx + 9$. Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals la paràbola és tangent a l'eix…
Considera la família de paràboles donades per l'equació $y = x^2 - kx + 9$. Determina els valors del paràmetre $k$ per als quals la paràbola és tangent a l'eix d'abscisses (és a dir, té un únic punt de tall amb l'eix X).