Seleccions sense ordenació
Ja saps calcular $C_{n,k}$ amb la fórmula del factorial. En aquest apartat li poses nom i notació pròpia —el nombre combinatori— i l'utilitzes en situacions més exigents: equacions, seleccions amb condicions, camins amb restriccions i repartiments amb un mínim garantit.
El nombre combinatori
Troba el valor de $x$ en la igualtat següent entre nombres combinatoris, sabent que $x \neq 4$: $\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Troba el valor de $x$ en la igualtat següent entre nombres combinatoris, sabent que $x \neq 4$:
$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Calcula el valor de l'expressió següent utilitzant les propietats dels nombres combinatoris: $\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Calcula el valor de l'expressió següent utilitzant les propietats dels nombres combinatoris:
$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Equacions combinatòries
Quan la incògnita apareix dins d'un nombre combinatori, l'estratègia és desenvolupar la fórmula del factorial, simplificar i resoldre l'equació resultant (sovint de primer o de segon grau).
Resol l'equació següent per trobar el valor del nombre natural $n$: $C_{n, 2} = 45$
Resol l'equació següent per trobar el valor del nombre natural $n$:
$C_{n, 2} = 45$
Troba el valor de $x$ que satisfà l'equació combinatòria següent: $\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Troba el valor de $x$ que satisfà l'equació combinatòria següent:
$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Seleccions amb restriccions
Molts problemes de combinacions exigeixen complir una condició addicional: un nombre fix de cada «tipus», o la presència obligatòria d'un element concret. La clau és separar el recompte per blocs i multiplicar.
Una empresa necessita formar un equip de projecte compost per $3$ enginyers i $2$ economistes. Si a la plantilla hi ha $8$ enginyers i $5$ economistes disponibles,…
Una empresa necessita formar un equip de projecte compost per $3$ enginyers i $2$ economistes. Si a la plantilla hi ha $8$ enginyers i $5$ economistes disponibles, calcula quants equips diferents es poden formar.
Un hospital ha de formar un equip de guàrdia nocturna de $5$ persones, seleccionat d'un grup de $7$ metges i $6$ infermers. Calcula quants equips diferents es poden…
Un hospital ha de formar un equip de guàrdia nocturna de $5$ persones, seleccionat d'un grup de $7$ metges i $6$ infermers. Calcula quants equips diferents es poden formar si la normativa exigeix que l'equip contingui com a mínim $3$ metges.
Camins en una quadrícula
Els nombres combinatoris també compten camins mínims: si cal fer $m$ passos cap a la dreta i $p$ cap amunt, cada camí és una manera d'escollir en quines $m$ de les $m+p$ posicions van els passos «dreta».
Un robot es desplaça per una quadrícula des del punt $A$ fins al punt $B$. Només pot realitzar moviments cap a la dreta o cap amunt, avançant una intersecció en cada…
Un robot es desplaça per una quadrícula des del punt $A$ fins al punt $B$. Només pot realitzar moviments cap a la dreta o cap amunt, avançant una intersecció en cada pas. Calcula el nombre de trajectòries diferents que pot seguir.
Un robot es desplaça per una quadrícula des del node $A$ fins al node $B$, movent-se únicament cap a la dreta i cap amunt. Ha de passar obligatòriament pel node $C$ per…
Un robot es desplaça per una quadrícula des del node $A$ fins al node $B$, movent-se únicament cap a la dreta i cap amunt. Ha de passar obligatòriament pel node $C$ per recollir un paquet. Determina quantes rutes vàlides hi ha.
Combinacions amb repetició i mínims
I si, en escollir unitats repetides entre diversos tipus, cada tipus ha d'aparèixer almenys una vegada? Es resol en dos passos: primer es reserva una unitat obligatòria de cada tipus, i després es reparteix la resta sense restricció.
Disposes de $8$ entrades idèntiques per a un concert i vols repartir-les entre els teus $4$ millors amics. Calcula de quantes formes pots distribuir-les, sabent que a un…
Disposes de $8$ entrades idèntiques per a un concert i vols repartir-les entre els teus $4$ millors amics. Calcula de quantes formes pots distribuir-les, sabent que a un amic li poden tocar diverses entrades o fins i tot cap.
En una gelateria ofereixen $5$ sabors diferents. Vols comprar $8$ tarrines de gelat per a una festa, però vols assegurar-te de portar com a mínim una tarrina de cadascun…
En una gelateria ofereixen $5$ sabors diferents. Vols comprar $8$ tarrines de gelat per a una festa, però vols assegurar-te de portar com a mínim una tarrina de cadascun dels $5$ sabors. Calcula de quantes formes diferents pots fer la teva comanda.