Vectors en el pla

Donats els punts $A(2, -1)$ i $B(5, 3)$, calcula les components del vector $\vec{AB}$ i el seu mòdul.

Observa els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ representats a la quadrícula. Escriu les seves components i calcula analíticament les coordenades del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Troba els possibles valors de $x$ perquè el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tingui un mòdul exactament igual a $10$.

Un dron de repartiment vola amb una velocitat pròpia representada pel vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ km/h. En aquest instant, el vent bufa amb una velocitat $\vec{v}_v = (-3, 2)$ km/h. Calcula el vector velocitat real del dron i la seva rapidesa (el mòdul del vector resultant).

Indica si els vectors $\vec{a} = (6, -9)$ i $\vec{b} = (-2, 3)$ són paral·lels (tenen la mateixa direcció). Justifica la teva resposta matemàticament.

En el disseny d'un pont, tres pilars han d'estar perfectament alineats. En el plànol de l'arquitecte, les bases dels pilars estan situades en les coordenades $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ i $R(8, k)$. Determina el valor de $k$ perquè l'alineació sigui correcta.

Calcula el producte escalar dels vectors $\vec{p} = (4, 5)$ i $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir del resultat, indica si són perpendiculars.

Considera els vectors dependents d'un paràmetre $\vec{u} = (m, 2)$ i $\vec{v} = (3, m-1)$. Troba els valors del paràmetre $m$ en dos casos geomètrics diferents:

1. a) Perquè $\vec{u}$ i $\vec{v}$ siguin perpendiculars.
2. b) Perquè $\vec{u}$ i $\vec{v}$ siguin paral·lels.

Esbrina si el triangle format per les antenes de telecomunicacions situades en les coordenades $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ i $C(9, -1)$ és un triangle rectangle. Utilitza el producte escalar dels vectors que formen els seus costats per justificar la teva resposta.