Factorització i regla de Ruffini
Un polinomi factoritzat és, per a un programa que resol equacions, el mateix que un pla de desglossament per a qui munta un moble: en lloc d'una peça compacta, dona directament les parts per les quals es pot trencar. Factoritzar $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ diu d'un cop d'ull que $P(x)=0$ exactament quan $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. La regla de Ruffini és l'eina que converteix un polinomi qualsevol en aquest pla de desglossament.
Factor comú i identitats notables
Factoritzar sempre comença igual: treure tot el factor comú possible (el m.c.d. dels coeficients i, de cada lletra, el menor exponent amb el qual apareix en tots els termes) i, si el que queda és una identitat notable, factoritzar-la també.
Extreu el factor comú en el següent polinomi, simplificant l'expressió al màxim: $P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Extreu el factor comú en el següent polinomi, simplificant l'expressió al màxim:
$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Factoritza els següents polinomis reconeixent-hi el desenvolupament d'identitats notables (quadrat d'una suma, quadrat d'una diferència o suma per diferència): a)…
Factoritza els següents polinomis reconeixent-hi el desenvolupament d'identitats notables (quadrat d'una suma, quadrat d'una diferència o suma per diferència):
- a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
- b) $B(x) = 9x^2 - 16$
La regla de Ruffini per factoritzar
Per factoritzar un polinomi de grau $\geq 3$, el factor comú i les identitats no solen bastar. L'eina central és la regla de Ruffini: si es coneix (o se sospita) una arrel $a$, Ruffini divideix $P(x)$ entre $(x-a)$ i dona directament el quocient, un factor de grau una unitat menor.
Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomi $(x - 2)$. Indica clarament quin és el polinomi quocient i quin és el…
Aplica la regla de Ruffini per dividir el polinomi $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomi $(x - 2)$. Indica clarament quin és el polinomi quocient i quin és el residu de la divisió.
Sabent que $x = 1$ és una de les arrels del polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilitza la regla de Ruffini per factoritzar-lo i trobar les altres dues arrels.
Sabent que $x = 1$ és una de les arrels del polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilitza la regla de Ruffini per factoritzar-lo i trobar les altres dues arrels.
Realitza la divisió del polinomi $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomi $(2x - 3)$. Pista: Pots utilitzar la regla de Ruffini dividint entre $(x - \frac{3}{2})$ i…
Realitza la divisió del polinomi $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomi $(2x - 3)$. Pista: Pots utilitzar la regla de Ruffini dividint entre $(x - \frac{3}{2})$ i ajustant posteriorment el quocient obtingut.
Teorema del residu i teorema del factor
Abans de llançar-se a fer Ruffini amb qualsevol candidat, convé comprovar ràpidament si val la pena: per a això serveix el teorema del residu.
Sense realitzar la divisió, utilitza el teorema del residu per calcular el residu que s'obté en dividir el polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Sense realitzar la divisió, utilitza el teorema del residu per calcular el residu que s'obté en dividir el polinomi $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Utilitza el teorema del factor per comprovar si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.
Utilitza el teorema del factor per comprovar si $x = 3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica la teva resposta mostrant els càlculs.
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ doni un residu de $10$ en ser dividit entre $(x - 2)$.
Troba el valor del paràmetre $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ doni un residu de $10$ en ser dividit entre $(x - 2)$.
Candidats a arrel entera
Provar nombres a l'atzar és ineficient. Si $P(x)$ té coeficients enters, les seves arrels enteres (si en té) són sempre entre els divisors del terme independent.
Se sap que el polinomi $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ té almenys una arrel entera. Comprova mitjançant el teorema del residu o la regla de Ruffini que $x = 2$ és una de…
Se sap que el polinomi $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ té almenys una arrel entera. Comprova mitjançant el teorema del residu o la regla de Ruffini que $x = 2$ és una de les seves arrels. A continuació, factoritza el polinomi completament per trobar les seves altres dues arrels (una d'elles és una fracció).
Un equip d'enginyers analitza la distribució de tensions en una biga de metall, la qual es modelitza mitjançant el polinomi $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Troba…
Un equip d'enginyers analitza la distribució de tensions en una biga de metall, la qual es modelitza mitjançant el polinomi $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Troba totes les arrels del polinomi per determinar els punts exactes on la tensió és nul·la.
Factorització completa i arrels múltiples
Factoritzar "completament" significa repetir factor comú, identitats i Ruffini fins que tots els factors siguin de grau $1$ (o de grau $2$ sense arrels reals). Si una arrel apareix més d'una vegada, és una arrel múltiple.
Atès el polinomi ja factoritzat $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directament quines són totes les seves arrels i especifica la multiplicitat de cadascuna d'elles (si…
Atès el polinomi ja factoritzat $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directament quines són totes les seves arrels i especifica la multiplicitat de cadascuna d'elles (si són simples, dobles, etc.).
Construeix un polinomi de grau 3 que tingui com a arrels $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ i $x_3 = 4$, i el coeficient principal del qual sigui $1$. Expressa el resultat final en…
Construeix un polinomi de grau 3 que tingui com a arrels $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ i $x_3 = 4$, i el coeficient principal del qual sigui $1$. Expressa el resultat final en forma desenvolupada (operant els factors).
Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Per fer-ho, extreu primer el factor comú i després troba les arrels del polinomi resultant.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Per fer-ho, extreu primer el factor comú i després troba les arrels del polinomi resultant.
Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tingues en compte que pot contenir arrels múltiples. Indica clarament quines són les seves…
Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tingues en compte que pot contenir arrels múltiples. Indica clarament quines són les seves arrels i la multiplicitat de cadascuna.