Distribucions bidimensionals

Classifica les relacions següents entre variables bidimensionals com a dependència funcional o dependència estadística (aleatòria):

1. a) La longitud del radi d'una circumferència i la seva àrea.
2. b) El nombre d'hores d'entrenament d'un atleta i la seva marca en una cursa de $100$ metres.
3. c) El pes d'un paquet de taronges i el seu preu al supermercat.
4. d) L'edat d'un arbre i la seva alçària.

En un estudi sobre el clima i els hàbits en diverses ciutats, s'han analitzat diferents parells de variables. Indica si s'espera una correlació positiva, negativa o nul·la en cada cas:

1. a) L'altitud de la ciutat i la temperatura mitjana anual.
2. b) La quantitat de pluja anual i el nombre de paraigües venuts.
3. c) El nombre d'habitants i la temperatura mitjana anual.
4. d) Les hores de sol a l'any i la despesa en calefacció.

Per a una distribució bidimensional $(X, Y)$ de $10$ parells de valors, s'han obtingut les sumes següents després de tabular les dades: $\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 60$ i $\sum x_i y_i = 280$. Calcula el valor de la covariància de la distribució.

S'ha mesurat el pes en kg ($X$) i l'alçària en cm ($Y$) d'un grup de $5$ amics, i s'han obtingut els parells de valors següents: $(60, 165)$, $(65, 170)$, $(70, 175)$, $(55, 160)$ i $(80, 180)$. Calcula les coordenades exactes del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$ d'aquesta distribució bidimensional.

Una petita empresa de programari ha registrat el nombre de desenvolupadors assignats a un projecte ($X$) i el temps en mesos que han trigat a finalitzar-lo ($Y$):

$X$: $2, 3, 5, 6$

$Y$: $8, 6, 3, 2$

1. a) Calcula la mitjana de $X$ i la mitjana de $Y$.
2. b) Calcula la covariància de la distribució.
3. c) La relació és directa o inversa? Té sentit aquest resultat en el context del problema?

En un estudi de mercat sobre el preu de l'habitatge ($Y$, en milers d'euros) en funció de la seva superfície ($X$, en metres quadrats), s'han obtingut els paràmetres estadístics següents:

• La covariància és $\sigma_{xy} = 450$.

• La desviació típica de la superfície és $\sigma_x = 25$.

• La desviació típica del preu és $\sigma_y = 20$.

Calcula el coeficient de correlació lineal i interpreta la força i el sentit de la relació entre totes dues variables.

El coeficient de correlació lineal entre la talla de sabata d'un grup d'estudiants i la nota obtinguda en el darrer examen de matemàtiques és $r = 0,02$. Explica el significat d'aquest valor. Té sentit calcular la recta de regressió per predir la nota a partir de la talla de sabata?

La covariància entre la variable $X$ (temperatura mitjana diària en graus Celsius) i la variable $Y$ (vendes de refrescs en euros) en un mes determinat és $\sigma_{xy} = 150$.

Si decidim canviar la unitat de mesura de la temperatura a graus Fahrenheit utilitzant la fórmula de conversió $F = 1,8C + 32$, respon raonadament:

1. a) Quin serà el nou valor de la covariància $\sigma_{Fy}$ entre la temperatura en Fahrenheit i les vendes?
2. b) El nou coeficient de correlació lineal canviarà respecte a l'original? Justifica la teva resposta apel·lant a la fórmula de $r$.

Coneixem les dades següents d'una distribució bidimensional referida a les vendes d'una empresa ($Y$, en milers d'unitats) segons la inversió en publicitat ($X$, en milers d'euros):

• Centre de gravetat: $(12, 40)$.

• Desviació típica de $X$: $\sigma_x = 3$.

• Desviació típica de $Y$: $\sigma_y = 5$.

• Coeficient de correlació: $r = 0,9$.

Troba l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ en la forma $y = mx + n$.

Donades les equacions de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ ($y = 0,8x + 2,4$) i de la recta de regressió de $X$ sobre $Y$ ($x = 0,5y + 3$) d'una mateixa distribució bidimensional, determina les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$. (Recorda la propietat geomètrica que relaciona totes dues rectes amb el centre de gravetat).

Es coneixen les equacions de les dues rectes de regressió d'una distribució bidimensional:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = -1,2x + 10$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -0,6y + 8$

1. a) Calcula les coordenades del centre de gravetat $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Sabent que el coeficient de correlació $r$ té el mateix signe que el pendent de les rectes de regressió, i que es compleix la relació $r^2 = m_{yx} \cdot m_{xy}$ (on $m_{yx}$ és el pendent de la recta de $Y$ sobre $X$, i $m_{xy}$ és el pendent de la recta de $X$ sobre $Y$), calcula el valor exacte de $r$.

La recta de regressió que relaciona el nombre d'hores d'estudi setmanal ($X$) amb la qualificació obtinguda en un examen sobre $10$ ($Y$) ve donada per l'equació $y = 0,6x + 2,5$.

1. a) Quina qualificació s'estima per a un alumne que ha estudiat $8$ hores?
2. b) Si un alumne vol obtenir una qualificació estimada de $7$, quantes hores hauria d'estudiar segons aquest model?

La recta de regressió que relaciona l'antiguitat d'un model de cotxe en anys ($X$) amb el seu valor al mercat de segona mà en milers d'euros ($Y$) és $y = -1,2x + 18$.

1. a) Estima el valor d'un cotxe que té $5$ anys d'antiguitat.
2. b) Estima el valor d'un cotxe que té $20$ anys d'antiguitat.
3. c) Són igualment fiables totes dues estimacions? Explica els riscos lògics i matemàtics de l'extrapolació en el segon cas.

Una empresa de transport vol analitzar la relació entre la distància recorreguda en un trajecte ($X$, en desenes de km) i el consum de combustible ($Y$, en litres). Les dades registrades en una mostra de $5$ camions són:

$X$: $5, 10, 15, 20, 25$

$Y$: $12, 22, 30, 42, 49$

1. a) Calcula les mitjanes $\bar{x}$ i $\bar{y}$.
2. b) Calcula les variàncies $\sigma_x^2$ i $\sigma_y^2$, i la covariància $\sigma_{xy}$.
3. c) Troba el coeficient de correlació lineal $r$.
4. d) Determina l'equació de la recta de regressió de $Y$ sobre $X$ i estima el consum de combustible per a un trajecte de $180$ km ($X=18$).

Un estudi estadístic realitzat durant un any en una ciutat costanera mostra una forta correlació positiva entre les vendes mensuals de gelats i el nombre de persones que pateixen incidents d'ofegament a la platja.

1. a) Significa això que menjar gelats és la causa dels ofegaments?
2. b) Identifica una possible "variable oculta" que expliqui l'augment simultani de totes dues variables i justifiqui la correlació estadística trobada.

S'ha estudiat la relació entre les hores d'entrenament setmanal ($X$) i el temps en minuts per completar una prova esportiva de resistència ($Y$) en un grup d'atletes, i s'ha obtingut el diagrama de dispersió següent.

En calcular el coeficient de correlació amb totes les dades, s'obté una correlació feble ($r = -0,45$).

1. a) Observant la gràfica, identifica quin punt es considera un valor atípic (outlier).
2. b) Explica, raonant sobre el concepte de tendència lineal, com afectaria l'eliminació de l'"Atleta A" al valor numèric del coeficient de correlació i al pendent de la recta de regressió.