Funcions potencials
L'àrea d'un cercle és $A(r) = \pi r^2$, el volum d'un cub és $V(a) = a^3$ i la intensitat de la llum decreix com $I(d) = k\cdot d^{-2}$. En els tres casos, la variable està a la base i l'exponent és fix: són funcions potencials. Segons si aquest exponent és positiu, negatiu o fraccionari, la gràfica canvia radicalment de forma.
Què és una funció potencial
Identifica quines de les expressions algebraiques següents corresponen a una funció potencial: $f(x) = 3x^2$ $g(x) = 2^x$ $h(x) = \frac{5}{x^3}$ $i(x) = x^{1/2}$
Identifica quines de les expressions algebraiques següents corresponen a una funció potencial:
-
$f(x) = 3x^2$
-
$g(x) = 2^x$
-
$h(x) = \frac{5}{x^3}$
-
$i(x) = x^{1/2}$
Escriu l'expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre real positiu la seva arrel cúbica, expressant-la en forma de potència amb exponent fraccionari.
Escriu l'expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre real positiu la seva arrel cúbica, expressant-la en forma de potència amb exponent fraccionari.
Calcular imatges i trobar el coeficient
Per trobar $f(a)$, se substitueix $x=a$ i es calcula la potència. Si es coneix un punt de la gràfica, es pot aïllar el coeficient $a$ de $f(x)=a\cdot x^n$.
Dada la funció potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de les seves imatges per a $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.
Dada la funció potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de les seves imatges per a $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.
Troba el valor del coeficient $k$ de la funció potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabent que la seva gràfica passa pel punt de coordenades $(2, 40)$.
Troba el valor del coeficient $k$ de la funció potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabent que la seva gràfica passa pel punt de coordenades $(2, 40)$.
Sabent que la gràfica d'una funció potencial de la forma $f(x) = x^n$ passa pel punt $(3, 81)$, esbrina el valor de l'exponent $n$.
Sabent que la gràfica d'una funció potencial de la forma $f(x) = x^n$ passa pel punt $(3, 81)$, esbrina el valor de l'exponent $n$.
Exponent negatiu: dues asímptotes
Indica el domini de definició i les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció potencial $f(x) = x^{-2}$.
Indica el domini de definició i les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció potencial $f(x) = x^{-2}$.
Dada la funció $f(x) = -3x^{-3}$, determina el seu domini de definició, el seu recorregut i estudia analíticament si presenta cap tipus de simetria (parell o senar).
Dada la funció $f(x) = -3x^{-3}$, determina el seu domini de definició, el seu recorregut i estudia analíticament si presenta cap tipus de simetria (parell o senar).
Exponent fraccionari: la corba que comença a l'origen
Un exponent fraccionari $x^{p/q}$ equival a una arrel: $x^{1/2}=\sqrt{x}$, $x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}$. Si el denominador $q$ és parell, el domini queda limitat a $x\geq0$.
Indica quin és el domini de definició i determina el tipus de simetria (parell, senar o cap) de la funció potencial $f(x) = x^6$.
Indica quin és el domini de definició i determina el tipus de simetria (parell, senar o cap) de la funció potencial $f(x) = x^6$.
Dada la funció potencial amb exponent fraccionari $f(x) = x^{2/3}$: Determina el seu domini de definició. Calcula els valors exactes de $f(8)$ i $f(-8)$. Raona…
Dada la funció potencial amb exponent fraccionari $f(x) = x^{2/3}$:
-
Determina el seu domini de definició.
-
Calcula els valors exactes de $f(8)$ i $f(-8)$.
-
Raona analíticament si la funció és parell, senar o cap de les dues.
Funcions potencials en la ciència
Moltes lleis físiques i biològiques tenen forma potencial: l'àrea en funció del radi, l'energia cinètica en funció de la velocitat, la tercera llei de Kepler.
Expressa mitjançant una funció potencial l'àrea $A$ d'un cercle en funció del seu radi $r$. Quin és el grau d'aquesta funció potencial?
Expressa mitjançant una funció potencial l'àrea $A$ d'un cercle en funció del seu radi $r$. Quin és el grau d'aquesta funció potencial?
L'energia cinètica d'un cos en moviment ve donada per la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la massa d'un vehicle és de $1200$ kg, expressa la seva energia…
L'energia cinètica d'un cos en moviment ve donada per la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la massa d'un vehicle és de $1200$ kg, expressa la seva energia cinètica com una funció potencial dependent de la seva velocitat $v$ (en m/s) i calcula l'energia que té quan circula a $20$ m/s.
El volum d'una esfera en funció del seu radi es calcula mitjançant la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Aïlla el radi $r$ per expressar-lo com una funció potencial…
El volum d'una esfera en funció del seu radi es calcula mitjançant la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Aïlla el radi $r$ per expressar-lo com una funció potencial dependent del volum $V$. Utilitza aquesta nova funció per calcular el radi aproximat d'una esfera que té un volum de $1000$ cm$^3$ (pren $\pi \approx 3,14$).
La taxa metabòlica basal $T$ (en kcal/dia) dels mamífers es modelitza en funció de la seva massa corporal $M$ (en kg) mitjançant la funció potencial de Kleiber:…
La taxa metabòlica basal $T$ (en kcal/dia) dels mamífers es modelitza en funció de la seva massa corporal $M$ (en kg) mitjançant la funció potencial de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcula la taxa metabòlica basal d'un gos de $16$ kg. A continuació, esbrina la massa aproximada d'un animal la taxa metabòlica del qual sigui de $7000$ kcal/dia.
La tercera llei de Kepler estableix que el quadrat del període orbital $T$ d'un planeta és directament proporcional al cub de la seva distància mitjana al Sol $R$, és a…
La tercera llei de Kepler estableix que el quadrat del període orbital $T$ d'un planeta és directament proporcional al cub de la seva distància mitjana al Sol $R$, és a dir, $T^2 = k \cdot R^3$. Si per a la Terra es compleix que $T = 1$ any i $R = 1$ UA (Unitat Astronòmica), expressa el període $T$ com una funció potencial dependent de $R$. Utilitza aquesta funció per calcular el període orbital de Júpiter, sabent que la seva distància mitjana al Sol és de $5,2$ UA.