Funció trigonomètrica

Determina l'amplitud i el període de la funció trigonomètrica $f(x) = 4\sin(3x)$.

Avalua la funció $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en els valors $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ i $x = \frac{3\pi}{2}$.

Troba tots els punts de tall amb l'eix d'abscisses (eix X) de la funció $y = \sin(x)$ en l'interval tancat $[0, 2\pi]$.

Observa la gràfica següent i determina si correspon a la funció sinus o a la funció cosinus. Justifica la teva resposta indicant el punt de tall amb l'eix Y i el tipus de simetria que presenta.

Classifica les funcions elementals $f(x) = \sin(x)$, $g(x) = \cos(x)$ i $h(x) = \tan(x)$ segons el tipus de simetria que presenten (parell o senar).

Calcula el període exacte de la funció $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.

Determina el domini de la funció $f(x) = \tan(2x)$ i escriu les equacions de les seves tres primeres asímptotes verticals positives.

Indica el domini i el recorregut de la funció trigonomètrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.

Descriu quina transformació geomètrica pateix la gràfica de la funció $f(x) = \cos(x)$ per convertir-se en la gràfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. Quin és el nou recorregut de la funció $g(x)$?

L'altura en metres a la qual es troba una de les cabines d'una nòria en funció del temps en minuts ve donada per l'expressió $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcula l'altura màxima i mínima que aconsegueix la nòria, i determina el temps exacte que triga a fer una volta completa.

Un pes penjat de l'extrem d'una molla oscil·la verticalment. La seva posició respecte al sostre ve donada per l'equació $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, mesurada en centímetres. Indica a quina distància del sostre es troba el pes en l'instant inicial ($t=0$), quina és la seva posició més baixa (distància més gran al sostre) i quin és el període d'oscil·lació de la molla.

Dibuixa un esborrany de la funció $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica pas a pas com s'obté aquesta gràfica aplicant translacions i dilatacions a la gràfica original de la funció $f(x) = \sin(x)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El nivell de l'aigua en un port varia periòdicament a causa de les marees. La gràfica següent mostra l'altura de l'aigua en metres al llarg de $24\text{ hores}$. Determina l'amplitud, el període i l'altura mitjana de l'aigua. A partir d'aquestes dades, proposa una expressió trigonomètrica del tipus $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que s'ajusti a la gràfica mostrada.

Una ona sonora pura emesa per un diapasó es modela mitjançant la funció $P(t) = 0,02 \sin(880\pi t)$, on $P$ representa la variació de pressió en pascals i $t$ el temps transcorregut en segons. Determina l'amplitud de l'ona i la seva freqüència (el nombre de cicles complets que fa per segon).

El voltatge d'un corrent altern en una instal·lació domèstica europea es pot expressar mitjançant la funció $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, on $V$ és el voltatge en volts i $t$ el temps en segons. Calcula el voltatge màxim aconseguit i esbrina quantes vegades per segon el voltatge pren exactament el valor de $0\text{ volts}$.

El nombre d'hores de llum solar en una determinada ciutat al llarg de l'any es pot aproximar mitjançant la funció $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, on $d$ representa el dia de l'any ($d=1$ és el 1 de gener). Quantes hores de llum hi ha exactament el dia $d=80$? I el dia $d=262$ (mig any després)? Interpreta el significat de tots dos resultats.

El pèndol d'un rellotge de paret oscil·la d'un costat a l'altre. El seu desplaçament horitzontal en centímetres respecte al centre es modela amb la funció $x(t) = A \cos(Bt)$. Si es sap que el pèndol aconsegueix un desplaçament màxim de $12\text{ cm}$ i completa un cicle sencer d'anada i tornada cada $2\text{ segons}$, determina els valors exactes dels paràmetres $A$ i $B$. A més, calcula en quins instants exactes durant els primers $4\text{ segons}$ el pèndol passa just per la posició central d'equilibri.

La temperatura mitjana mensual d'una ciutat es modela amb una funció trigonomètrica. Observa la gràfica que representa la temperatura $T$ en graus Celsius en funció del mes $m$ (on $m=0$ equival a principis de gener, $m=1$ a principis de febrer, etc.). Determina els valors dels paràmetres $A, B, C$ i $D$ perquè la funció $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ representi fidelment aquesta corba.

Segons la teoria dels biorritmes, la capacitat física d'una persona segueix un cicle sinusoïdal de $23\text{ dies}$ i la capacitat emocional un cicle de $28\text{ dies}$. Si totes dues capacitats es modelen amb funcions sinus d'amplitud $1$ que parteixen de zero el dia del naixement ($t=0$), escriu les funcions $F(t)$ i $E(t)$. Quants dies exactes han de passar des del naixement perquè totes dues capacitats tornin a creuar el valor zero simultàniament, passant totes dues a tenir valors positius?

La població de conills en una reserva natural fluctua anualment segons el model $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, on $t$ representa el temps en mesos ($t=0$ és el 1 de gener). Planteja i resol la inequació trigonomètrica corresponent per determinar exactament durant quins mesos del primer any la població es manté estrictament per sobre dels $950\text{ conills}$.

El feix de llum d'un far giratori il·lumina un penya-segat recte i llarg. La distància $d$ (en metres) des del punt més proper del penya-segat fins al punt il·luminat en l'instant $t$ (en segons) ve donada per la funció $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina el domini d'aquesta funció en el context físic del problema (per al primer gir) i interpreta què passa amb el feix de llum quan $t$ s'acosta a $2\text{ segons}$.

Demostra mitjançant l'anàlisi de translacions horitzontals que la funció $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ és equivalent a la funció $g(x) = \cos(x)$. Utilitza els conceptes de desfasament, periodicitat i la forma de les seves gràfiques per justificar la teva resposta.

El volum d'aire present als pulmons d'una persona en repòs, mesurat en litres, es modela mitjançant la funció $V(t) = 2,5 + 0,5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, on $t$ es mesura en segons. Calcula el volum màxim i mínim d'aire als pulmons. A partir del període de la funció, determina quantes respiracions completes (cicles complets d'inhalació i exhalació) fa aquesta persona en un minut exacte.