Arbres
Ja saps multiplicar branques i sumar camins. El que falta és una manera d'organitzar-ho tot sense perdre't quan l'experiment té tres, quatre o més etapes: el diagrama d'arbre. És l'eina que faràs servir sistemàticament al Batxillerat per a la probabilitat total i el teorema de Bayes, així que convé dominar-ne la construcció amb rigor, no només de manera intuïtiva.
Construcció d'un diagrama d'arbre
Completa el diagrama d'arbre següent que representa el llançament d'una moneda trucada dues vegades consecutives, sabent que la probabilitat de treure cara és…
Completa el diagrama d'arbre següent que representa el llançament d'una moneda trucada dues vegades consecutives, sabent que la probabilitat de treure cara és $\frac{1}{3}$. A partir de l'arbre, calcula la probabilitat d'obtenir primer cara i després creu.
Un jugador de bàsquet té una probabilitat de $0,8$ d'encistellar un tir lliure. Si tira dos tirs lliures de forma independent, dibuixa l'arbre de probabilitats i…
Un jugador de bàsquet té una probabilitat de $0,8$ d'encistellar un tir lliure. Si tira dos tirs lliures de forma independent, dibuixa l'arbre de probabilitats i determina quina és la probabilitat que falli tots dos llançaments.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Camins i resultats: multiplicar i sumar
En un armari hi ha $5$ samarretes blanques i $3$ negres. Es trien dues samarretes a l'atzar, una rere l'altra i sense retornar la primera a l'armari. Calcula la…
En un armari hi ha $5$ samarretes blanques i $3$ negres. Es trien dues samarretes a l'atzar, una rere l'altra i sense retornar la primera a l'armari. Calcula la probabilitat que totes dues samarretes siguin blanques.
Es disposa d'una baralla espanyola de $40$ cartes. S'extreuen tres cartes consecutivament sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres cartes siguin del…
Es disposa d'una baralla espanyola de $40$ cartes. S'extreuen tres cartes consecutivament sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres cartes siguin del mateix coll (or, copes, espases o bastos).
Probabilitat total llegida a l'arbre
En una fàbrica de components electrònics, tres màquines (A, B i C) produeixen el $50\,\%$, el $30\,\%$ i el $20\,\%$ de les peces, respectivament. Els percentatges de…
En una fàbrica de components electrònics, tres màquines (A, B i C) produeixen el $50\,\%$, el $30\,\%$ i el $20\,\%$ de les peces, respectivament. Els percentatges de peces defectuoses produïdes per cada màquina són el $2\,\%$, el $4\,\%$ i el $5\,\%$. Recolza't en el diagrama d'arbre per calcular la probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa.
Tenim dues urnes. La urna A conté $3$ boles vermelles i $2$ negres. La urna B conté $4$ boles vermelles i $5$ negres. Tirem una moneda enlaire: si surt cara, extreiem…
Tenim dues urnes. La urna A conté $3$ boles vermelles i $2$ negres. La urna B conté $4$ boles vermelles i $5$ negres. Tirem una moneda enlaire: si surt cara, extreiem una bola de la urna A; si surt creu, extreiem una bola de la urna B. Quina és la probabilitat que la bola extreta sigui vermella?
En una prova de diagnòstic per a una al·lèrgia, el $5\,\%$ de la població realment té l'al·lèrgia. Si una persona té l'al·lèrgia, el test dona positiu el $90\,\%$ de les…
En una prova de diagnòstic per a una al·lèrgia, el $5\,\%$ de la població realment té l'al·lèrgia. Si una persona té l'al·lèrgia, el test dona positiu el $90\,\%$ de les vegades. Si no la té, el test dona negatiu el $95\,\%$ de les vegades. Dibuixa un diagrama d'arbre per il·lustrar la situació i calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar obtingui un resultat positiu en el test.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Teorema de Bayes a partir de l'arbre
L'arbre també resol la pregunta inversa: coneixent el resultat final (ha passat $B$), per quina branca de la primera etapa és més probable que s'hi hagi arribat?
En una ciutat, el $20\,\%$ dels conductors són joves (menors de 25 anys) i el $80\,\%$ són adults. La probabilitat que un conductor jove tingui un accident en un any és…
En una ciutat, el $20\,\%$ dels conductors són joves (menors de 25 anys) i el $80\,\%$ són adults. La probabilitat que un conductor jove tingui un accident en un any és $0,15$, mentre que per a un adult és $0,05$. Es selecciona un conductor a l'atzar i resulta que ha tingut un accident aquest any. Utilitzant les branques d'un diagrama d'arbre, calcula la probabilitat que aquest conductor sigui jove. (Expressa el resultat com a fracció irreductible).
Un sistema d'alarma d'una cambra acorassada té 3 sensors de moviment. La probabilitat que el sensor A falli davant d'una intrusió és $0,1$; la que falli el sensor B és…
Un sistema d'alarma d'una cambra acorassada té 3 sensors de moviment. La probabilitat que el sensor A falli davant d'una intrusió és $0,1$; la que falli el sensor B és $0,05$; i la que falli el sensor C és $0,2$. Els sensors actuen de forma totalment independent. Dibuixa el diagrama d'arbre corresponent i calcula la probabilitat que, davant d'una intrusió real, almenys un sensor s'activi i faci sonar l'alarma.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.