Funció de proporcionalitat inversa
Les funcions estudiades fins ara —de primer i de segon grau— tenen domini $\mathbb{R}$. La funció de proporcionalitat inversa és la primera d'aquest bloc el domini de la qual no és tot $\mathbb{R}$: hi apareix una divisió, i una divisió imposa una restricció algebraica. Aquesta restricció és la clau de tota la seva gràfica.
Definició algebraica i domini
-
Si $k>0$: la gràfica ocupa el primer i el tercer quadrant.
-
Si $k<0$: ocupa el segon i el quart quadrant.
-
Com més gran és $|k|$, més allunyada és la corba dels eixos.
Identifica en la taula següent si les magnituds $x$ i $y$ són inversament proporcionals i, en cas afirmatiu, troba la constant de proporcionalitat $k$ i escriu la funció…
Identifica en la taula següent si les magnituds $x$ i $y$ són inversament proporcionals i, en cas afirmatiu, troba la constant de proporcionalitat $k$ i escriu la funció que les relaciona.
-
$x$: 1, 2, 3, 4, 6
-
$y$: 24, 12, 8, 6, 4
Donada la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ per a $x = 3$, $x = -9$ i $x = 0,5$.
Donada la funció de proporcionalitat inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ per a $x = 3$, $x = -9$ i $x = 0,5$.
Asímptotes i simetria de la hipèrbola
Determina el domini, el recorregut i les equacions de les asímptotes de la funció $y = \frac{-8}{x}$.
Determina el domini, el recorregut i les equacions de les asímptotes de la funció $y = \frac{-8}{x}$.
Associa cadascuna de les funcions següents amb la descripció dels quadrants en els quals se situen les seves branques en representar-les gràficament: a)…
Associa cadascuna de les funcions següents amb la descripció dels quadrants en els quals se situen les seves branques en representar-les gràficament:
- a) $y = \frac{5}{x}$
- b) $y = \frac{-2}{x}$
- c) $y = \frac{0,1}{x}$
Descripcions:
-
Branques situades al primer i tercer quadrant.
-
Branques situades al segon i quart quadrant.
Observa la gràfica següent d'una funció de proporcionalitat inversa i determina la seva constant $k$ i la seva expressió algebraica $y = \frac{k}{x}$.
Observa la gràfica següent d'una funció de proporcionalitat inversa i determina la seva constant $k$ i la seva expressió algebraica $y = \frac{k}{x}$.
Translacions: g(x) = k/(x-h) + v
Un premi de loteria de $300$ € es repartirà a parts iguals entre un grup de $x$ amics. Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona els diners que rep…
Un premi de loteria de $300$ € es repartirà a parts iguals entre un grup de $x$ amics. Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona els diners que rep cadascú amb el nombre d'amics i calcula quant reben si són $6$ persones.
Per omplir una piscina, $4$ aixetes d'igual cabal triguen $9$ hores. Escriu la funció que relaciona el temps d'ompliment $t$ (en hores) amb el nombre d'aixetes obertes…
Per omplir una piscina, $4$ aixetes d'igual cabal triguen $9$ hores. Escriu la funció que relaciona el temps d'ompliment $t$ (en hores) amb el nombre d'aixetes obertes $n$. Quant de temps trigarien $6$ aixetes a omplir la mateixa piscina?
Segons la llei de Boyle-Mariotte, a temperatura constant, la pressió $P$ d'un gas i el seu volum $V$ són magnituds inversament proporcionals ($P \cdot V = k$). Si un gas…
Segons la llei de Boyle-Mariotte, a temperatura constant, la pressió $P$ d'un gas i el seu volum $V$ són magnituds inversament proporcionals ($P \cdot V = k$). Si un gas determinat ocupa un volum de $20$ litres a una pressió de $1,5$ atmosferes, escriu la funció $V(P)$ i calcula quin volum ocuparà a $3$ atmosferes.
Monotonia i representació
La gràfica de la funció $y = \frac{8}{x}$ es traslla en el pla cartesià $4$ unitats cap a l'esquerra i $3$ unitats cap avall. Escriu l'expressió algebraica de la nova…
La gràfica de la funció $y = \frac{8}{x}$ es traslla en el pla cartesià $4$ unitats cap a l'esquerra i $3$ unitats cap avall. Escriu l'expressió algebraica de la nova funció, determina el seu domini i troba les coordenades del punt on es tallen les seves asímptotes.
Troba analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.
Troba analíticament els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.
A partir de la gràfica d'aquesta hipèrbola traslladada, determina les equacions de les seves asímptotes, les coordenades del seu centre de simetria i dedueix la seva…
A partir de la gràfica d'aquesta hipèrbola traslladada, determina les equacions de les seves asímptotes, les coordenades del seu centre de simetria i dedueix la seva expressió algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.
Modelització amb proporcionalitat inversa
La proporcionalitat inversa apareix en repartiments inversos (més treballadors, menys temps), en la relació velocitat-temps a distància fixa, o en la pressió-volum d'un gas a temperatura constant. El pas clau és identificar quin producte de les dues magnituds es manté constant.
Expressa la funció racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ fent la divisió de polinomis. A continuació, indica les equacions de les seves…
Expressa la funció racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ fent la divisió de polinomis. A continuació, indica les equacions de les seves asímptotes i les coordenades del seu centre de simetria.
Troba analíticament els punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{-4}{x-1}$ i la recta $y = -x + 4$.
Troba analíticament els punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{-4}{x-1}$ i la recta $y = -x + 4$.
Una fàbrica de components electrònics té unes despeses fixes diàries de $500$ € per encendre la mequinària, i produir cada unitat costa $2$ €. Escriu la funció del cost…
Una fàbrica de components electrònics té unes despeses fixes diàries de $500$ € per encendre la mequinària, i produir cada unitat costa $2$ €. Escriu la funció del cost mitjà per unitat $C_m(x)$ en funció del nombre d'unitats $x$ fabricades al dia. Troba les seves asímptotes i interpreta el significat de l'asímptota horitzontal en el context del problema.