Una permutació ordena tots els elements d'un conjunt. Però moltes situacions són diferents: triar i ordenar només alguns. De quantes maneres es poden repartir l'or, la plata i el bronze entre 8 atletes? No ordenes els 8, només en tries 3 i els col·loques en 3 llocs. Això és una variació.
Raones igual que amb les permutacions, però t'atures en el $k$-èsim factor en lloc d'arribar fins a 1: per al primer lloc hi ha $n$ opcions, per al segon $n-1$, i així fins al lloc $k$, on queden $n-k+1$ opcions.
En una galeria d'art es van a exposar $2$ quadres seleccionats d'una col·lecció privada de $7$ obres. Un es col·locarà a la paret esquerra de la sala i l'altre a la…
En una galeria d'art es van a exposar $2$ quadres seleccionats d'una col·lecció privada de $7$ obres. Un es col·locarà a la paret esquerra de la sala i l'altre a la paret dreta. De quantes maneres diferents es pot organitzar aquesta exposició?
Un club de lectura té $9$ membres. Han d'elegir una junta directiva formada per una presidència, una vicepresidència i una secretaria. Com que els càrrecs són diferents…
Un club de lectura té $9$ membres. Han d'elegir una junta directiva formada per una presidència, una vicepresidència i una secretaria. Com que els càrrecs són diferents i cada persona només en pot ocupar un, de quantes maneres es pot formar la junta?
I si el mateix element pot aparèixer més d'una vegada en la seqüència? Quan llances un dau 4 vegades seguides, el resultat de cada tirada no depèn de les anteriors: el «6» pot sortir les 4 vegades. Ja no treus opcions a cada etapa.
$$VR_{n,k} = n^k$$
Cadascuna de les $k$ posicions té sempre les mateixes $n$ opcions disponibles, perquè res no es «gasta»: és el principi de la multiplicació amb el mateix factor repetit $k$ vegades.
Practica★☆☆Sense començar
Llancem un dau cúbic tradicional de $6$ cares $4$ vegades consecutives i anotem el resultat de cada tirada per ordre. Quants resultats diferents podem obtenir en total?
Llancem un dau cúbic tradicional de $6$ cares $4$ vegades consecutives i anotem el resultat de cada tirada per ordre. Quants resultats diferents podem obtenir en total?
Volem pintar $3$ bústies alineades en un carrer. Disposem de $4$ colors diferents (vermell, verd, blau i groc). Si podem repetir colors en diferents bústies, de quantes…
Volem pintar $3$ bústies alineades en un carrer. Disposem de $4$ colors diferents (vermell, verd, blau i groc). Si podem repetir colors en diferents bústies, de quantes maneres diferents les podem pintar?
El sistema de matrícules d'un país està format per un bloc de $4$ dígits (del $0$ al $9$) seguit d'un bloc de $2$ lletres triades d'un alfabet de $20$ consonants. En…
El sistema de matrícules d'un país està format per un bloc de $4$ dígits (del $0$ al $9$) seguit d'un bloc de $2$ lletres triades d'un alfabet de $20$ consonants. En ambdós blocs es permet la repetició de caràcters. Quantes matrícules diferents es poden emetre en total amb aquest format?
Per accedir a una base de dades segura es requereix una contrasenya de $5$ caràcters. Per seguretat, el sistema exigeix que els dos primers caràcters siguin vocals (es…
Per accedir a una base de dades segura es requereix una contrasenya de $5$ caràcters. Per seguretat, el sistema exigeix que els dos primers caràcters siguin vocals (es permet que es repeteixin) i els tres últims caràcters han de ser nombres del $0$ al $9$ (sense que cap es repeteixi). Quantes contrasenyes diferents compleixen aquest format?
En problemes inversos, coneixes el resultat de $V_{n,k}$ o $VR_{n,k}$ i has de trobar $n$. Sol bastar desenvolupar la fórmula i resoldre l'equació que queda, provant valors petits si cal.
Practica★★★Sense començar
En un torneig d'escacs es juga a doble volta (cada jugador s'enfronta a tots els altres dues vegades, alternant el color de les peces). Si es sap que en total s'han…
En un torneig d'escacs es juga a doble volta (cada jugador s'enfronta a tots els altres dues vegades, alternant el color de les peces). Si es sap que en total s'han disputat $90$ partides, planteja l'equació corresponent utilitzant la fórmula de les variacions i troba quants jugadors van participar en el torneig.
Sabent que el nombre de variacions amb repetició de $x$ elements presos de $2$ en $2$ excedeix en $12$ el nombre de variacions sense repetició dels mateixos $x$ elements…
Sabent que el nombre de variacions amb repetició de $x$ elements presos de $2$ en $2$ excedeix en $12$ el nombre de variacions sense repetició dels mateixos $x$ elements presos de $2$ en $2$, planteja l'equació matemàtica corresponent i troba el valor de $x$.