Geometria i Trigonometria · Trigonometria d'angles qualsevol
Reducció al primer quadrant i identitat fonamental
Ja saps situar un angle en el seu quadrant i saber el signe de les seves raons. El pas següent és aprofitar la simetria de la circumferència goniomètrica: angles diferents poden compartir, tret del signe, el mateix sinus o el mateix cosinus que un angle del primer quadrant. Això permet calcular qualsevol raó sense memoritzar cap taula, més enllà dels angles notables de $30º$, $45º$ i $60º$.
Dos angles simètrics respecte a l'eix $Y$ (com $30º$ i $150º$) tenen punts a la mateixa altura: el mateix sinus. Dos angles simètrics respecte a l'eix $X$ (com $30º$ i $330º$) tenen la mateixa abscissa: el mateix cosinus. Aquesta simetria és la que permet "reduir" qualsevol angle a un del primer quadrant.
Practica★☆☆Sense començar
A la figura s'han representat els angles de $30º$ i $150º$ en la circumferència goniomètrica. A la vista de la simetria de la figura, expressa $\sin 150º$ i $\cos 150º$…
A la figura s'han representat els angles de $30º$ i $150º$ en la circumferència goniomètrica.
A la vista de la simetria de la figura, expressa $\sin 150º$ i $\cos 150º$ en funció de $\sin 30º$ i $\cos 30º$, indicant el signe correcte de cadascuna.
Expressa cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques en funció de la raó d'un angle del primer quadrant, tenint cura del signe: $\sin 210º$ $\cos 225º$ $\tan 240º$
Expressa cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques en funció de la raó d'un angle del primer quadrant, tenint cura del signe:
Expressa cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques en funció de la raó d'un angle del primer quadrant, tenint cura del signe: $\sin 330º$ $\cos 315º$ $\tan 300º$
Expressa cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques en funció de la raó d'un angle del primer quadrant, tenint cura del signe:
La identitat fonamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ continua valent per a qualsevol angle, no només per als aguts: surt d'aplicar Pitàgores al triangle de referència, la hipotenusa del qual és sempre el radi $1$. El que canvia respecte a un triangle rectangle normal és que, en aïllar una arrel quadrada, cal triar el signe segons el quadrant, en comptes de quedar-se sempre amb el positiu.
Practica★★☆Sense començar
Sabent que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i que $\alpha$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de $\cos \alpha$ i de $\tan \alpha$.
Sabent que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ i que $\alpha$ pertany al segon quadrant, calcula el valor exacte de $\cos \alpha$ i de $\tan \alpha$.
Si et diuen que $\sin\ x = \dfrac12$, hi ha més d'un angle que ho compleix entre $0º$ i $360º$: la recta horitzontal $y=\dfrac12$ talla la circumferència goniomètrica en dos punts, un en cadascun de dos quadrants diferents.
Practica★★☆Sense començar
A la figura s'ha representat la circumferència goniomètrica i la recta horitzontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la talla en dos punts. Troba tots els angles $x$ de…
A la figura s'ha representat la circumferència goniomètrica i la recta horitzontal $\sin x = \frac{1}{2}$, que la talla en dos punts.
Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\sin x = \frac{1}{2}$, raonant a partir de la figura.
A la figura s'han representat els angles de $60º$ i $120º$, que són suplementaris. Sabent que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ i $\cos 60º = \frac{1}{2}$,…
A la figura s'han representat els angles de $60º$ i $120º$, que són suplementaris.
Sabent que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ i $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calcula $\sin 120º$ i $\cos 120º$ raonant a partir de la simetria de la figura.
Com que les raons trigonomètriques es repeteixen exactament igual cada volta completa, una equació com $\tan\ x = 1$ no té només les solucions de $[0º,360º)$: en té infinites, una cada $180º$ (per a sinus i cosinus, cada $360º$). Això s'anomena periodicitat, i és clau en qualsevol fenomen que gira o es repeteix, com la pala d'un aerogenerador.
Practica★★★Sense començar
Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\tan x = 1$. Raona, amb la circumferència goniomètrica, quantes solucions tindria la mateixa equació en…
Troba tots els angles $x$ de $[0º, 360º)$ que verifiquen $\tan x = 1$.
Raona, amb la circumferència goniomètrica, quantes solucions tindria la mateixa equació en l'interval $[0º, 720º)$ i escriu-les totes.
La punta de la pala d'un aerogenerador descriu una circumferència de radi $1\ \text{m}$ (en unitats relatives) al voltant de l'eix del rotor. Si anomenem $\theta$…
La punta de la pala d'un aerogenerador descriu una circumferència de radi $1\ \text{m}$ (en unitats relatives) al voltant de l'eix del rotor. Si anomenem $\theta$ l'angle que forma la pala amb la horitzontal, mesurat en sentit antihorari, l'altura de la punta respecte al centre és $\sin \theta$ i el seu desplaçament horitzontal és $\cos \theta$.
Completa una taula amb l'altura i el desplaçament horitzontal de la punta per a $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ i $270º$.
La pala gira $40$ vegades per minut. Al cap d'un temps, la punta està a una altura de $0,5\ \text{m}$ sobre el centre. Quins valors de $\theta$ entre $0º$ i $360º$ corresponen a aquesta altura?
Les fórmules de reducció ($180º-\alpha$, $180º+\alpha$, $360º-\alpha$...) no són només per calcular un valor numèric: també serveixen per demostrar que una expressió amb diversos angles relacionats és sempre igual a una altra de més senzilla, sigui quin sigui $\alpha$.
Practica★★★Sense començar
Sabent que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ i que $\alpha$ pertany al quart quadrant: Calcula el valor exacte de $\sin \alpha$ i de $\cos \alpha$. Calcula…
Sabent que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ i que $\alpha$ pertany al quart quadrant:
Calcula el valor exacte de $\sin \alpha$ i de $\cos \alpha$.