Taxa de variació, taxa de variació mitjana i taxa de creixement
Un velocímetre no mesura la velocitat mitjana de tot un viatge, sinó la velocitat en cada instant concret. Fins ara només s'ha sabut calcular una mitjana: quant canvia una funció, de mitjana, entre dos punts. En aquest apartat es precisa aquesta idea amb la seva interpretació geomètrica (el pendent d'una recta secant) i es comença a respondre una pregunta més fina: què li passa a la funció just en un punt, no de mitjana en un tram? Aquesta pregunta és la porta d'entrada al concepte de derivada, que es formalitzarà més endavant.
Taxa de variació i taxa de variació mitjana
La taula següent mostra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) d'una reacció química en funció del temps $t$ (en minuts). Per a $t = 0$, $T = 15$ Per a $t = 1$, $T = 18$…
La taula següent mostra la temperatura $T$ (en $^{\circ}C$) d'una reacció química en funció del temps $t$ (en minuts).
-
Per a $t = 0$, $T = 15$
-
Per a $t = 1$, $T = 18$
-
Per a $t = 2$, $T = 24$
-
Per a $t = 3$, $T = 32$
-
Per a $t = 4$, $T = 45$
-
Per a $t = 5$, $T = 60$
Calcula la taxa de variació (TV) i la taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[2, 5]$.
Donada la funció afí $f(x) = 4x - 5$, calcula la seva taxa de variació mitjana en els intervals $[-2, 1]$ i $[3, 6]$. Quina conclusió pots extreure sobre la taxa de…
Donada la funció afí $f(x) = 4x - 5$, calcula la seva taxa de variació mitjana en els intervals $[-2, 1]$ i $[3, 6]$. Quina conclusió pots extreure sobre la taxa de variació mitjana de les funcions lineals?
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en l'interval $[1, 4]$.
Calcula la taxa de variació mitjana de la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 8$ en l'interval $[1, 4]$.
Interpretació geomètrica: la recta secant
El gràfic mostra el creixement d'una planta, on $h(t)$ és l'altura en centímetres i $t$ el temps en setmanes. A partir de la gràfica, calcula la taxa de variació mitjana…
El gràfic mostra el creixement d'una planta, on $h(t)$ és l'altura en centímetres i $t$ el temps en setmanes. A partir de la gràfica, calcula la taxa de variació mitjana de l'altura en l'interval $[1, 4]$.
La gràfica següent mostra el nombre d'espectadors $V(t)$, en milers, de les retransmissions d'un torneig d'e-sports durant els primers $5$ mesos de la temporada. Calcula…
La gràfica següent mostra el nombre d'espectadors $V(t)$, en milers, de les retransmissions d'un torneig d'e-sports durant els primers $5$ mesos de la temporada. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Interpreta el significat dels signes obtinguts en cada cas.
Considera la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 5]$ i utilitza aquest valor per escriure l'equació de la…
Considera la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[2, 5]$ i utilitza aquest valor per escriure l'equació de la recta secant a la gràfica de $f(x)$ que passa pels punts d'abscissa $x = 2$ i $x = 5$.
Taxa de creixement: variació relativa i percentual
El nombre d'usuaris actius d'una aplicació mòbil va passar de $2000$ a $2500$ al llarg d'un mes. Calcula la taxa de creixement expressada en percentatge.
El nombre d'usuaris actius d'una aplicació mòbil va passar de $2000$ a $2500$ al llarg d'un mes. Calcula la taxa de creixement expressada en percentatge.
El valor d'un cotxe es deprecia segons la funció $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, on $t$ són els anys transcorreguts des de la seva compra i $V(t)$ el preu en euros. Calcula…
El valor d'un cotxe es deprecia segons la funció $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, on $t$ són els anys transcorreguts des de la seva compra i $V(t)$ el preu en euros. Calcula la taxa de creixement percentual en el primer any (interval $[0, 1]$) i explica el significat pràctic del seu signe.
El preu d'un producte tecnològic era de $800$ € quan es va llançar. Dos mesos després, el seu preu va baixar a $640$ €. Suposant un model de decreixement lineal, calcula…
El preu d'un producte tecnològic era de $800$ € quan es va llançar. Dos mesos després, el seu preu va baixar a $640$ €. Suposant un model de decreixement lineal, calcula la taxa de variació mitjana mensual i la taxa de creixement percentual total en aquests dos primers mesos.
Taxa de variació instantània: estrenyent l'interval
La idea és senzilla: es fixa l'extrem $a$ i es deixa que l'altre extrem $b$ s'acosti cada vegada més a $a$. La secant que uneix $A(a,f(a))$ amb $B(b,f(b))$ va girant i, quan $b$ és molt proper a $a$, s'aproxima a una recta que «toca» la gràfica just a $A$ sense creuar-la: la recta tangent.
Les visualitzacions d'un vídeo viral creixen seguint el model matemàtic $N(t) = 100 \cdot 2^t$, on $N$ és el nombre de visualitzacions en milers i $t$ es mesura en dies.…
Les visualitzacions d'un vídeo viral creixen seguint el model matemàtic $N(t) = 100 \cdot 2^t$, on $N$ és el nombre de visualitzacions en milers i $t$ es mesura en dies. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Compara els resultats i explica què indiquen sobre el ritme de creixement del vídeo.
Obtén l'expressió algebraica simplificada per a la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en l'interval genèric $[a, a+h]$, on $h > 0$.
Obtén l'expressió algebraica simplificada per a la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ en l'interval genèric $[a, a+h]$, on $h > 0$.
La posició d'un objecte en caiguda lliure ve donada per $e(t) = 5t^2$ (on $e$ es mesura en metres i $t$ en segons). Troba l'instant exacte de temps $t > 1$ per al qual…
La posició d'un objecte en caiguda lliure ve donada per $e(t) = 5t^2$ (on $e$ es mesura en metres i $t$ en segons). Troba l'instant exacte de temps $t > 1$ per al qual la velocitat mitjana (que coincideix amb la taxa de variació mitjana) en l'interval $[1, t]$ és exactament de $25$ m/s.
Comparar ritmes de canvi en diferents trams
Des d'un pont alt es deixa caure una pedra. L'altura $h$ (en metres) respecte a la superfície de l'aigua en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'equació…
Des d'un pont alt es deixa caure una pedra. L'altura $h$ (en metres) respecte a la superfície de l'aigua en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'equació $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la taxa de variació mitjana en l'interval $[1; 2,5]$. Quina magnitud física representa aquest valor i per què té signe negatiu?
El volum $V$ (en litres) d'aigua en un dipòsit industrial que s'està buidant ve donat per la funció $V(t) = 500 - 10t - t^2$, on $t$ es mesura en minuts. Calcula la taxa…
El volum $V$ (en litres) d'aigua en un dipòsit industrial que s'està buidant ve donat per la funció $V(t) = 500 - 10t - t^2$, on $t$ es mesura en minuts. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[0, 5]$ i $[5, 10]$. En quin interval de temps es buida més ràpid el dipòsit?
La distància de frenada $d$ (en metres) d'un vehicle en funció de la seva velocitat $v$ (en km/h) es modelitza mitjançant la funció $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcula la…
La distància de frenada $d$ (en metres) d'un vehicle en funció de la seva velocitat $v$ (en km/h) es modelitza mitjançant la funció $d(v) = 0,005v^2 + 0,2v$. Calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[40, 60]$ i $[100, 120]$. Explica raonadament per què l'increment mitjà de la distància de frenada és molt més gran a velocitats altes.
Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula i compara la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 2]$ i $[-2, -1]$. Justifica analíticament per…
Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$, calcula i compara la taxa de variació mitjana en els intervals $[1, 2]$ i $[-2, -1]$. Justifica analíticament per què s'obté el mateix resultat utilitzant la simetria senar de la funció.
Torna al principi: El velocímetre mesura la taxa de variació instantània: la velocitat mitjana calculada en un interval de temps tan minúscul que coincideix pràcticament amb el pendent de la recta tangent en aquell segon exacte.