Un rang de temperatures segures, un IMC saludable, el marge de tolerància d'una peça mecànica: tots són trossos de la recta real . Per treballar-hi amb precisió necessites una notació formal: intervals, semirectes i entorns.
Intervals i semirectes
Donats $a, b \in \mathbb{R}$ amb $a < b$, un interval és un subconjunt de $\mathbb{R}$ format per tots els nombres compresos entre $a$ i $b$. El claudàtor indica que l'extrem s'inclou ; el parèntesi, que no .
Notació
Conjunt
Nom
$[a,b]$
$\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$
tancat
$(a,b)$
$\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$
obert
$[a,b)$
$\{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$
semiobert
$(a,b]$
$\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$
semiobert
Representació a la recta real de l'interval semiobert [a, b), amb l'extrem a inclòs mitjançant un punt ple i l'extrem b exclòs mitjançant un punt buit.
[a, b)
a ≤ x < b
a b (inclòs) (exclòs)
Les semirectes són intervals amb un sol extrem; l'altre «se'n va» a l'infinit, que mai no s'inclou perquè no és un nombre.
$(-\infty, b]= \{x \in \mathbb{R} \mid x \le b\}$, $(-\infty, b) = \{x \mid x < b\}$, $[a, +\infty) = \{x \mid x \ge a\}$, $(a, +\infty) = \{x \mid x > a\}$. $+\infty$ i $-\infty$ sempre porten parèntesi: no són nombres reals, no es poden «incloure».
Activa JavaScript per fer servir aquest interactiu.
L'interval $(2, 5)$ no està format únicament pel $3$ i el $4$. Com que treballem a la recta real, conté infinits nombres decimals i irracionals, com $2{,}01$, $\pi$ o $4{,}99$.
El Mateo ha escrit $[6, -1)$ per indicar els valors més grans o iguals que $-1$ i més petits que $6$.
Mostra la resposta Els extrems s'han col·locat en ordre invers. A la recta real s'escriu sempre de menor a major ($a < b$), per la qual cosa la notació correcta és $[-1, 6)$.
★☆☆ Sense començar
Observa la representació gràfica del conjunt de nombres reals següent i expressa'l utilitzant notació d'interval i en forma de desigualtat. Observa la representació gràfica del conjunt de nombres reals següent i expressa'l utilitzant notació d'interval i en forma de desigualtat.
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
I
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Expressa mitjançant un interval la desigualtat següent i representa-la de manera aproximada en una recta numèrica: $-3 < x \le 5$. Expressa mitjançant un interval la desigualtat següent i representa-la de manera aproximada en una recta numèrica: $-3 < x \le 5$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Escriu en forma de semirecta el conjunt de tots els nombres reals que són menors o iguals que $7$. Escriu en forma de semirecta el conjunt de tots els nombres reals que són menors o iguals que $7$.
Resoldre
Entorns
Un entorn descriu un interval a partir del seu centre i de com s'allunya cap a cada costat: és la forma natural de parlar de «tolerància» o «marge d'error».
$$E(a, r) = (a - r,\ a + r) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - a| < r\}$$
Si vols incloure els extrems (entorn tancat), $|x - a| \le r$ correspon a $[a-r,\ a+r]$.
Representació a la recta real d'un entorn E(a, r), amb centre a, radi r i extrems oberts a a − r i a + r.
entorn de centre a i radi r
r r a−r a+r a
El centre és el punt mitjà: $a = \dfrac{2+10}{2} = 6$.
El radi és la distància del centre a un extrem: $r = 10 - 6 = 4$. Per tant, $(2, 10) = E(6, 4)$.
Pas següent (1/2)
Centre: $a = \dfrac{18{,}5 + 24{,}9}{2} = 21{,}7$.
Radi: $r = 24{,}9 - 21{,}7 = 3{,}2$. L'entorn tancat és $E(21{,}7;\ 3{,}2)$, equivalent a $|x - 21{,}7| \le 3{,}2$.
Pas següent (1/2) ★☆☆ Sense començar
Escriu en forma d'entorn $E(a, r)$ l'interval obert $(2, 10)$. Escriu en forma d'entorn $E(a, r)$ l'interval obert $(2, 10)$.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Expressa l'entorn $E(-1, 4)$ com un interval i tradueix-lo a una desigualtat. Expressa l'entorn $E(-1, 4)$ com un interval i tradueix-lo a una desigualtat.
Resoldre
★★☆ Sense començar
En l'àmbit de la nutrició, es considera que l'Índex de Massa Corporal (IMC) és saludable si es troba en l'interval $[18,5; 24,9]$. Expressa aquest rang en forma d'entorn… En l'àmbit de la nutrició, es considera que l'Índex de Massa Corporal (IMC) és saludable si es troba en l'interval $[18,5; 24,9]$. Expressa aquest rang en forma d'entorn tancat, calculant prèviament el seu centre i el seu radi.
Resoldre
Valor absolut, distància i inequacions
El valor absolut $|x - a|$ mesura la distància entre $x$ i $a$ a la recta real, sense importar quin dels dos és més gran. Això connecta directament amb els entorns i permet resoldre inequacions de manera sistemàtica.
$|x - a| = r \iff x = a - r$ o $x = a + r$ (dues solucions puntuals).
$|x - a| < r \iff a - r < x < a + r$: un únic interval , l'entorn $E(a, r)$.
$|x - a| > r \iff x < a - r$ o $x > a + r$: dues semirectes que no es toquen.
Per què? El valor absolut $|x - a|$ representa la distància entre $x$ i $a$. Exigir que aquesta distància sigui menor que $r$ limita $x$ a estar a menys de $r$ passos del centre en ambdues direccions, mentre que exigir que sigui més gran t'obliga a allunyar-te més de $r$ passos cap a l'esquerra o cap a la dreta.
Esquema geomètric a la recta que il·lustra la distància entre dos punts A i B mitjançant el valor absolut |A − B|.
A B |A−B| = distància
Apliquem l'equivalència directa: $4 - 3 < x < 4 + 3$.
Solució: l'interval $(1, 7)$, equivalent a l'entorn $E(4, 3)$.
Pas següent (1/2)
$|x| > 5$ no és l'interval «a l'inrevés» de $(-5,5)$: la solució és $x < -5$ o $x > 5$, dues semirectes que mai no s'ajunten. Només $|x - a| < r$ dona un interval únic.
Observa la inequació $|x + 2| > 4$. Com serà el seu conjunt solució a la recta?
Mostra la resposta Donarà dues semirectes separades perquè la desigualtat és «més gran que» ($>$), cosa que exigeix allunyar-se més de $4$ unitats del centre $-2$ cap als dos costats.
★☆☆ Sense començar
Expressa en forma de desigualtat i mitjançant un interval el conjunt de nombres reals la distància dels quals al zero és estrictament menor que $5$. Expressa en forma de desigualtat i mitjançant un interval el conjunt de nombres reals la distància dels quals al zero és estrictament menor que $5$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Expressa mitjançant valor absolut el conjunt de nombres reals la distància dels quals al nombre $-2$ és menor o igual que $6$, i escriu l'interval resultant. Expressa mitjançant valor absolut el conjunt de nombres reals la distància dels quals al nombre $-2$ és menor o igual que $6$, i escriu l'interval resultant.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Resol la inequació amb valor absolut $|x - 4| < 3$ i expressa la solució en forma d'interval i d'entorn. Resol la inequació amb valor absolut $|x - 4| < 3$ i expressa la solució en forma d'interval i d'entorn.
Resoldre
Unió i intersecció d'intervals
Els intervals són conjunts, així que es poden combinar amb les operacions de conjunts: la unió ($\cup$) ajunta tot el que és en qualsevol dels dos; la intersecció ($\cap$) es queda només amb el que és comú a tots dos.
Representació gràfica a la recta real de les operacions d'unió i intersecció entre dos intervals superposats A i B.
A ∩ B = (0, 3)
−4 0 3 6 A = [−4, 3)
B = (0, 6]
La unió pren l'extrem més ampli de cada costat: $A \cup B = [-4, 6]$.
La intersecció pren el tram comú, el més estret de cada costat: $A \cap B = (0, 3)$.
Pas següent (1/2)
Primer la intersecció: $I \cap J = (-1, 2]$ (el tram comú a tots dos).
Ara la unió amb $K$: $(-1, 2] \cup [3, 8]$. Com que $2 < 3$ i hi ha un buit entre tots dos, no es pot escriure com un sol interval : el resultat són dos intervals separats.
Pas següent (1/2)
Si els dos intervals no es toquen ni se superposen, la seva unió és un conjunt format per dos trossos, no un interval. Cal comprovar sempre si hi ha superposició abans de simplificar.
Si dos intervals no comparteixen cap punt, la seva intersecció no val $0$ ni es diu que «no existeix». La resposta matemàtica correcta és el conjunt buit: $\emptyset$.
Mostra la resposta Perquè el nombre $4$ no pertany a cap dels dos intervals en tenir tots dos extrems oberts. A $(1, 7)$ el $4$ sí que hi seria inclòs, per la qual cosa no són el mateix conjunt.
★★☆ Sense començar
Donats els intervals $A = [-4, 3)$ i $B = (0, 6]$, determina l'interval resultant de la unió $A \cup B$ i de la intersecció $A \cap B$. Donats els intervals $A = [-4, 3)$ i $B = (0, 6]$, determina l'interval resultant de la unió $A \cup B$ i de la intersecció $A \cap B$.
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
A
B
Resoldre
★★☆ Sense començar
Troba tots els nombres enters que pertanyen simultàniament als intervals $(-3,2; 4]$ i $[0; 5,1)$. Troba tots els nombres enters que pertanyen simultàniament als intervals $(-3,2; 4]$ i $[0; 5,1)$.
Resoldre
★★★ Sense començar
Siguin els conjunts $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ i $K = [3, 8]$. Calcula l'interval resultant de l'operació $(I \cap J) \cup K$. Siguin els conjunts $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ i $K = [3, 8]$. Calcula l'interval resultant de l'operació $(I \cap J) \cup K$.
Resoldre