Simetria d'una funció
Abans de representar una funció convé preguntar-se si té alguna simetria: estalvia la meitat de la feina i, a Batxillerat, és la primera dada que s'analitza en estudiar qualsevol funció. La simetria no es decideix mirant un dibuix, sinó demostrant-la amb una substitució algebraica.
Simetria parella: reflexió respecte a l'eix $Y$
Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultat, indica si la funció presenta simetria parell, senar o cap.
Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcula el valor de $f(-x)$. A partir del resultat, indica si la funció presenta simetria parell, senar o cap.
Considera la funció afí $f(x) = 2x + 1$. Comprova algebraicament si compleix la condició de simetria parell ($f(-x) = f(x)$) o la de simetria senar ($f(-x) = -f(x)$).
Considera la funció afí $f(x) = 2x + 1$. Comprova algebraicament si compleix la condició de simetria parell ($f(-x) = f(x)$) o la de simetria senar ($f(-x) = -f(x)$).
Simetria imparella: simetria central respecte a l'origen
Donada la funció $g(x) = -2x^3$, calcula l'expressió de $g(-x)$. Quin tipus de simetria té aquesta funció?
Donada la funció $g(x) = -2x^3$, calcula l'expressió de $g(-x)$. Quin tipus de simetria té aquesta funció?
Sabent que $f(x)$ és una funció senar i que està definida al punt $x = 0$, quin ha de ser obligatòriament el valor de $f(0)$? Demostra-ho utilitzant la definició de…
Sabent que $f(x)$ és una funció senar i que està definida al punt $x = 0$, quin ha de ser obligatòriament el valor de $f(0)$? Demostra-ho utilitzant la definició de funció senar.
Funcions sense simetria
La majoria de les funcions no són ni parelles ni imparelles: n'hi ha prou que barregin exponents parells i imparells, o que tinguin un terme constant diferent de zero juntament amb termes d'exponent imparell.
Observa les gràfiques de les funcions representades en els panells A i B. Indica quin tipus de simetria (parell, senar o cap) presenta cadascuna d'elles, justificant la…
Observa les gràfiques de les funcions representades en els panells A i B. Indica quin tipus de simetria (parell, senar o cap) presenta cadascuna d'elles, justificant la teva resposta en funció de la seva forma visual.
Utilitat pràctica de conèixer la simetria
La gràfica següent mostra la variació de temperatura $T$ en un experiment químic en funció del temps $t$, registrada a partir de l'instant $t = 0$. Si el model matemàtic…
La gràfica següent mostra la variació de temperatura $T$ en un experiment químic en funció del temps $t$, registrada a partir de l'instant $t = 0$. Si el model matemàtic $T(t)$ que regeix aquest experiment és una funció parell en tot el seu domini real, quina serà la temperatura en l'instant $t = -3$? Justifica la teva resposta.
Troba el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = x^2 + kx + 5$ sigui una funció parell. Justifica la teva resposta algebraicament.
Troba el valor que ha de prendre el paràmetre $k$ perquè la funció $f(x) = x^2 + kx + 5$ sigui una funció parell. Justifica la teva resposta algebraicament.
Suposa que existeix una funció $f(x)$ que és simultàniament parell i senar en tot el seu domini. Planteja el sistema d'equacions que es deriva de les definicions de…
Suposa que existeix una funció $f(x)$ que és simultàniament parell i senar en tot el seu domini. Planteja el sistema d'equacions que es deriva de les definicions de totes dues simetries i resol per trobar quina és l'única funció que compleix aquesta condició.
Simetria en funcions racionals
En una funció racional, $f(-x)$ es calcula substituint per separat en el numerador i en el denominador, prestant atenció al signe que introdueix cada potència imparella.
Comprova de forma algebraica el tipus de simetria que presenta la funció racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
Comprova de forma algebraica el tipus de simetria que presenta la funció racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.
La potència generada per un aerogenerador es modelitza mitjançant la funció $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, on $v$ representa la velocitat del vent. Estudia analíticament…
La potència generada per un aerogenerador es modelitza mitjançant la funció $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, on $v$ representa la velocitat del vent. Estudia analíticament la simetria de $P(v)$. Si considerem velocitats de vent negatives com vent bufant en direcció contrària, quin significat físic té la simetria obtinguda respecte a la potència generada?
Un estudiant afirma que la funció $f(x) = \frac{1}{x-2}$ és senar perquè la $x$ del denominador està elevada a un exponent senar (1). És correcta aquesta afirmació?…
Un estudiant afirma que la funció $f(x) = \frac{1}{x-2}$ és senar perquè la $x$ del denominador està elevada a un exponent senar (1). És correcta aquesta afirmació? Demostra-ho o refuta-ho mitjançant una anàlisi algebraica.