Dependència
Treus una carta de la baralla i no la tornes a posar: la segona extracció ja no té les mateixes probabilitats que la primera. Un metge interpreta el resultat d'una prova: allò que ja se sap (el resultat del test) canvia la probabilitat d'allò que es vol esbrinar (si hi ha malaltia). En tots dos casos, un succés canvia la probabilitat de l'altre: són successos dependents, i necessites la probabilitat condicionada.
Probabilitat condicionada
Es consideren dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori. Sabem que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Comprova matemàticament si els successos $A$…
Es consideren dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori. Sabem que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Comprova matemàticament si els successos $A$ i $B$ són independents.
En una classe de $30$ alumnes, $18$ estudien francès, $12$ estudien alemany i $5$ estudian tots dos idiomes. Si es tria un alumne a l'atzar i resulta que estudia…
En una classe de $30$ alumnes, $18$ estudien francès, $12$ estudien alemany i $5$ estudian tots dos idiomes. Si es tria un alumne a l'atzar i resulta que estudia francès, quina és la probabilitat que també estudiï alemany?
Regla del producte i extraccions sense reemplaçament
En una urna hi ha $5$ boles vermelles i $3$ boles blaves. S'extreuen dues boles consecutivament i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que la primera bola sigui…
En una urna hi ha $5$ boles vermelles i $3$ boles blaves. S'extreuen dues boles consecutivament i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que la primera bola sigui vermella i la segona sigui blava.
D'una caixa que conté $10$ bombetes, es sap que $3$ d'elles estan fosses. S'extreuen $3$ bombetes consecutivament i sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que…
D'una caixa que conté $10$ bombetes, es sap que $3$ d'elles estan fosses. S'extreuen $3$ bombetes consecutivament i sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que exactament una de les bombetes extretes estigui fossa?
Probabilitat total: sumar diversos camins
En una fàbrica, la màquina A produeix el $60\%$ de les peces i la màquina B produeix el $40\%$ restant. Es sap que el $2\%$ de les peces produïdes per A són defectuoses,…
En una fàbrica, la màquina A produeix el $60\%$ de les peces i la màquina B produeix el $40\%$ restant. Es sap que el $2\%$ de les peces produïdes per A són defectuoses, mentre que a la màquina B el percentatge de defectuoses és del $5\%$. Si es tria una peça a l'atzar del magatzem, quina és la probabilitat que hagi estat fabricada per la màquina B i sigui defectuosa?
En una clínica es fa una prova ràpida d'al·lèrgia. Es sap que el $8\%$ dels pacients són al·lèrgics a una substància determinada. La prova dona un resultat positiu en el…
En una clínica es fa una prova ràpida d'al·lèrgia. Es sap que el $8\%$ dels pacients són al·lèrgics a una substància determinada. La prova dona un resultat positiu en el $90\%$ dels pacients que realment són al·lèrgics. En canvi, també dona un fals positiu en el $5\%$ dels pacients que no són al·lèrgics. Es tria un pacient a l'atzar i se li fa la prova. Quina és la probabilitat que el resultat sigui positiu?
Invertir la condicionada: d'un efecte a la seva causa
Una pregunta freqüent és la inversa de la condicionada: si el test surt positiu, quina és la probabilitat real d'estar malalt? Això és el germen del teorema de Bayes, que veuràs amb tot detall i amb diagrames d'arbre en l'apartat següent.
En un institut, el $55\%$ de l'alumnat són noies. Es sap que el $20\%$ de les noies i el $25\%$ dels nois participen activament en el club de teatre. Si es tria a…
En un institut, el $55\%$ de l'alumnat són noies. Es sap que el $20\%$ de les noies i el $25\%$ dels nois participen activament en el club de teatre. Si es tria a l'atzar un estudiant que participa en el club de teatre, quina és la probabilitat que sigui una noia?
Tenim dos daus cúbics en un gobellet. El primer és un dau normal amb les cares numerades del $1$ al $6$. El segon és un dau trucat que té tres cares amb un $2$, dues…
Tenim dos daus cúbics en un gobellet. El primer és un dau normal amb les cares numerades del $1$ al $6$. El segon és un dau trucat que té tres cares amb un $2$, dues cares amb un $3$ i una cara amb un $5$. Es tria un dau a l'atzar (amb probabilitat $\frac{1}{2}$ per a cadascun) i es tira. Si el resultat obtingut és un nombre parell, quina és la probabilitat que s'hagi tirat el dau trucat?
Torna al principi: Si extreus dues cartes d'una baralla de $40$ sense tornar la primera, la probabilitat de treure copes en la segona passa de $10/40$ ($25\,\%$) a només $9/39$ (aproximadament $23{,}1\,\%$) si la primera ha estat copes.