Patrons i regularitats

Observa les seqüències numèriques següents i escriu els dos termes següents de cadascuna, explicant la regla que segueixen:

• $5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots$

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$

• $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$

La successió de Fibonacci comença així: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots$; cada terme s'obté sumant els dos anteriors. Escriu els quatre termes següents.

Observa la seqüència $1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -6,\ \ldots$

• Escriu els tres termes següents.

• Quin és el terme que ocupa el lloc $25$? És positiu o negatiu?

Una manualitat consisteix a construir triangles en cadena amb escuradents, com es mostra a la figura.

• Quants escuradents es necessiten per construir la figura 4?

• I per a la figura 5?

Observa la seqüència de figures formades per punts de la imatge.

• Quants punts tindrà la figura 4? I la figura 5?

• Quina relació hi ha entre el número de la figura i la quantitat de punts?

Una empresa de construcció empila blocs formant escales, com es mostra a la figura.

• Compta els blocs de les figures 1, 2 i 3 i calcula quants blocs tindrà la figura 4.

• Quants blocs tindrà la figura 10?

• Escriu una expressió general per al nombre de blocs de la figura $n$. (Pista: uneix cada escala amb la seva simètrica per formar un rectangle.)

La successió $a_n$ té per terme general $a_n = 4n - 1$. Calcula els termes $a_1$, $a_5$ i $a_{20}$.

Considera la successió $7,\ 12,\ 17,\ 22,\ \ldots$

• Troba el seu terme general $a_n$.

• Comprova si $157$ és un terme de la successió i, en cas afirmatiu, indica quin lloc ocupa.

• Pertany $200$ a la successió? Raona la resposta.

Un alumne afirma que el terme general de la successió $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ és $a_n = 2n$. Indica si l'afirmació és vertadera o falsa, raona la teva resposta i escriu el terme general correcte.

Una successió es defineix per recurrència així: $a_1 = 2$ i $a_n = 2\cdot a_{n-1} + 1$.

• Calcula els cinc primers termes.

• Compara cada terme amb les potències de $2$ ($2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$) i descriu el patró que observes.

• A la vista del patró, quin serà el valor de $a_{10}$?

En el seu llibre Liber Abaci (1202), Leonardo de Pisa, conegut com a Fibonacci, va plantejar aquest problema: una parella de conills nounada triga un mes a fer-se adulta; a partir d'aleshores, cada mes té una nova parella de cries, que a la vegada segueixen la mateixa regla. Cap conill no mor.

• Partint d'una única parella nounada, completa una taula amb el nombre de parelles al final de cadascun dels sis primers mesos.

• Escriu la llei de recurrència que segueix la successió.

• Quantes parelles hi haurà al cap de $10$ mesos?

Dos companys discuteixen sobre el terme general de la successió que comença $2,\ 4,\ 8,\ \ldots$

• Aitana diu que és $a_n = 2^n$.

• Bruno diu que pot ser $b_n = n^2 - n + 2$.

• Comprova que totes dues expressions generen els tres primers termes.

• Calcula el quart terme segons cadascuna de les dues expressions. Coincideixen?

• Extreu conclusions: els tres primers termes d'una successió determinen el seu terme general de manera única?

Els nombres triangulars són $1,\ 3,\ 6,\ 10,\ 15,\ \ldots$ (punts que formen un triangle) i els quadrats són $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

• Comprova amb els quatre primers casos que cada nombre quadrat (a partir del $4$) és la suma de dos nombres triangulars consecutius.

• Escriu aquesta propietat amb una igualtat algebraica utilitzant els termes generals $T_n = \frac{n\cdot(n + 1)}{2}$ i $C_n = n^2$, i demostra-la.

• Il·lustra amb un dibuix de punts per què és certa la propietat per a $C_4 = 16$.

La conjectura de Collatz, proposada el 1937 i encara sense demostrar, parteix de qualsevol nombre natural i aplica aquesta regla: si el nombre és parell, es divideix entre $2$; si és senar, es multiplica per $3$ i es suma $1$. La conjectura afirma que sempre s'acaba arribant a $1$.

• Aplica la regla partint de $7$ i escriu la seqüència completa fins a arribar a $1$.

• Fes el mateix partint de $11$.

• Comprova la conjectura per a tres nombres triats per tu, un d'ells més gran que $50$. Creus que comprovar molts casos demostra que la conjectura és certa? Comenta la teva resposta.