Equacions de segon grau
Ja vas resoldre equacions de segon grau el curs passat. Ara toca anar més enllà d'«aplicar la fórmula»: entendre què diu el discriminant sobre la naturalesa de les solucions, treure informació sense resoldre amb Cardano-Vieta, i discutir equacions que depenen d'un paràmetre. És la base algebraica que necessitaràs al Batxillerat.
Forma general i fórmula
Aplica la fórmula general per trobar les arrels de la següent equació de segon grau completa: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Aplica la fórmula general per trobar les arrels de la següent equació de segon grau completa:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Troba les solucions de la següent equació que ja es troba factoritzada, sense necessitat de desenvolupar el producte: $(2x - 5)(x + 4) = 0$
Troba les solucions de la següent equació que ja es troba factoritzada, sense necessitat de desenvolupar el producte:
$(2x - 5)(x + 4) = 0$
Incompletes: resoldre sense la fórmula general
Resol la següent equació de segon grau incompleta aïllant directament la incògnita: $4x^2 - 64 = 0$
Resol la següent equació de segon grau incompleta aïllant directament la incògnita:
$4x^2 - 64 = 0$
Calcula les solucions de la següent equació de segon grau incompleta extreient factor comú: $3x^2 + 15x = 0$
Calcula les solucions de la següent equació de segon grau incompleta extreient factor comú:
$3x^2 + 15x = 0$
El discriminant: la naturalesa de les solucions
Determina si l'equació $2x^2 + 3x + 5 = 0$ té solució en el conjunt dels nombres reals calculant prèviament el valor del seu discriminant $\Delta$.
Determina si l'equació $2x^2 + 3x + 5 = 0$ té solució en el conjunt dels nombres reals calculant prèviament el valor del seu discriminant $\Delta$.
Troba el valor del coeficient $c$ en l'equació $x^2 + 4x + c = 0$ perquè aquesta tingui una única solució real doble.
Troba el valor del coeficient $c$ en l'equació $x^2 + 4x + c = 0$ perquè aquesta tingui una única solució real doble.
Determina el valor numèric del paràmetre $k$ perquè l'equació $3x^2 - kx + 12 = 0$ tingui una única solució real doble.
Determina el valor numèric del paràmetre $k$ perquè l'equació $3x^2 - kx + 12 = 0$ tingui una única solució real doble.
Cardano-Vieta: suma i producte sense resoldre
Aquesta propietat també serveix a l'inrevés: per construir una equació a partir de les seves solucions, sense passar pel producte de binomis.
Escriu una equació de segon grau en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabent que les seves úniques solucions són $x_1 = 3$ i $x_2 = -8$.
Escriu una equació de segon grau en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabent que les seves úniques solucions són $x_1 = 3$ i $x_2 = -8$.
Sabent que una de les solucions de l'equació $2x^2 + bx - 15 = 0$ és $x_1 = 3$, calcula sense resoldre completament l'equació el valor de l'altra solució $x_2$ i el…
Sabent que una de les solucions de l'equació $2x^2 + bx - 15 = 0$ és $x_1 = 3$, calcula sense resoldre completament l'equació el valor de l'altra solució $x_2$ i el valor del coeficient $b$.
Equacions amb paràmetre: discutir el nombre de solucions
Al Batxillerat apareixen contínuament equacions amb una lletra addicional (un paràmetre, normalment $m$ o $k$) on cal discutir, segons els seus valors, quantes solucions reals hi ha. El discriminant torna a ser l'eina clau, però amb un matís nou: si el coeficient $a$ depèn del paràmetre, cal vigilar també quan $a=0$ (aleshores l'equació deixa de ser de segon grau).
Discuteix, en funció dels diferents valors del paràmetre $m$, el nombre de solucions reals que té la següent equació de segon grau: $mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$ Assegura't…
Discuteix, en funció dels diferents valors del paràmetre $m$, el nombre de solucions reals que té la següent equació de segon grau:
$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$
Assegura't d'analitzar què passa quan el discriminant és positiu, nul o negatiu, i no oblidis el cas especial en què el coeficient principal s'anul·la.
Problemes de segon grau
Per reformar la sala d'estar rectangular d'un habitatge, l'arquitecte indica que la llargada mesura $2\text{ m}$ més que l'amplada. Si la superfície total de la sala és…
Per reformar la sala d'estar rectangular d'un habitatge, l'arquitecte indica que la llargada mesura $2\text{ m}$ més que l'amplada. Si la superfície total de la sala és de $35\text{ m}^2$, planteja una equació de segon grau i calcula les dimensions exactes de l'estança.
Un enginyer aeroespacial llança un coet de prova. L'altura $h$ (en metres) assolida pel coet en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió…
Un enginyer aeroespacial llança un coet de prova. L'altura $h$ (en metres) assolida pel coet en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per l'expressió $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en quins instants de temps el coet es troba exactament a $75\text{ m}$ d'altura.