Nombres racionals
A 3r d'ESO ja vas treballar amb fraccions i decimals. Ara toca mirar-los amb la precisió que necessitaràs a Batxillerat: definir amb exactitud què és un nombre racional, demostrar per què una fracció dona un decimal exacte o periòdic, i entendre que entre dos racionals sempre hi cap un altre, per molt a prop que estiguin.
El conjunt $\mathbb{Q}$
Els naturals i els enters són racionals particulars: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Per això $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$: cada conjunt amplia l'anterior sense perdre'n cap element.
Classifica els nombres següents indicant el conjunt numèric més petit al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$;…
Classifica els nombres següents indicant el conjunt numèric més petit al qual pertanyen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1,2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.
De fracció a decimal: exacte o periòdic?
Dividir el numerador entre el denominador sempre dona un decimal, però la seva naturalesa depèn només dels factors primers del denominador de la fracció irreductible.
Classifica les fraccions següents segons el tipus d'expressió decimal que generen (exacta, periòdica pura o periòdica mixta) sense fer la divisió: $\frac{7}{20}$,…
Classifica les fraccions següents segons el tipus d'expressió decimal que generen (exacta, periòdica pura o periòdica mixta) sense fer la divisió: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ i $\frac{3}{14}$.
La fracció generatriu
Tot decimal exacte o periòdic es pot escriure com a fracció: aquesta fracció és la seva generatriu. El mètode es basa a multiplicar per potències de 10 perquè la part periòdica «es cancel·li» en restar.
Calcula la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals següents: $3,45$ i $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals següents: $3,45$ i $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracció generatriu irreductible del nombre decimal $4,1\widehat{36}$.
Calcula la fracció generatriu irreductible del nombre decimal $4,1\widehat{36}$.
Demostra matemàticament, utilitzant l'algorisme per obtenir la fracció generatriu, que el nombre decimal periòdic pur $0,\widehat{9}$ és exactament igual al nombre…
Demostra matemàticament, utilitzant l'algorisme per obtenir la fracció generatriu, que el nombre decimal periòdic pur $0,\widehat{9}$ és exactament igual al nombre natural $1$.
Operacions combinades amb racionals
Les fraccions i els decimals periòdics s'operen igual que a 3r, però ara convé passar-ho tot a fracció abans d'operar, sobretot si hi ha potències, arrels o parèntesis niats: així el resultat és exacte, sense arrodoniments.
Realitza la següent operació amb fraccions i simplifica el resultat: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realitza la següent operació amb fraccions i simplifica el resultat: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de les potències i deixant el resultat com una fracció irreductible:…
Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de les potències i deixant el resultat com una fracció irreductible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.
Ordre i densitat de $\mathbb{Q}$
Entre dos racionals diferents, per molt pròxims que semblin, sempre hi ha infinits racionals més. Aquesta propietat s'anomena densitat.
Troba dos nombres racionals diferents que estiguin compresos estrictament entre $\frac{2}{5}$ i $\frac{3}{5}$.
Troba dos nombres racionals diferents que estiguin compresos estrictament entre $\frac{2}{5}$ i $\frac{3}{5}$.