Geometria i Trigonometria · Trigonometria d'angles qualsevol
Angles orientats i circumferència goniomètrica
Fins ara el sinus, el cosinus i la tangent només tenien sentit per a angles aguts, els que cabien dins d'un triangle rectangle. Però un GPS necessita calcular l'angle d'una corba de $200º$, una sínia fa voltes de $750º$ sense parar, i la pala d'un aerogenerador passa per dalt, per baix i pels costats. Cal una definició que funcioni per a qualsevol angle, per gran, petit o negatiu que sigui. Aquesta és la circumferència goniomètrica.
Un angle no ha de quedar-se necessàriament entre $0º$ i $360º$. Si alguna cosa gira i continua girant, l'angle recorregut pot ser $750º$, $2000º$ o més: cada $360º$ és una volta completa. Per conveni, els angles es mesuren des del semieix positiu de $X$, i són positius si el gir és antihorari i negatius si és horari.
Practica★☆☆Sense començar
Un angle més gran de $360º$ dóna més d'una volta completa. Expressa cadascun d'aquests angles com un nombre de voltes completes més un angle menor de $360º$:…
Un angle més gran de $360º$ dóna més d'una volta completa. Expressa cadascun d'aquests angles com un nombre de voltes completes més un angle menor de $360º$:
Els angles negatius es recorren en sentit horari. Expressa cadascun d'aquests angles com un angle positiu menor de $360º$ que tingui el mateix costat terminal:…
Els angles negatius es recorren en sentit horari. Expressa cadascun d'aquests angles com un angle positiu menor de $360º$ que tingui el mateix costat terminal:
La circumferència goniomètrica: sinus i cosinus com a coordenades
Dibuixa una circumferència de radi $1$ centrada a l'origen d'un pla cartesià. Per a qualsevol angle $\alpha$ mesurat des del semieix positiu de $X$, el seu costat terminal talla aquesta circumferència en un únic punt $P$. Aquesta és la idea clau: el cosinus de $\alpha$ és l'abscissa de $P$, i el sinus de $\alpha$ és la seva ordenada.
Per a un angle agut, aquesta definició coincideix exactament amb la del triangle rectangle: el radi de la circumferència (la hipotenusa) fa $1$, de manera que catet oposat entre hipotenusa és, directament, l'ordenada de $P$.
Practica★☆☆Sense començar
En la circumferència goniomètrica, el sinus d'un angle és l'ordenada i el cosinus l'abscissa del punt on el costat terminal talla la circumferència, com es mostra a la…
En la circumferència goniomètrica, el sinus d'un angle és l'ordenada i el cosinus l'abscissa del punt on el costat terminal talla la circumferència, com es mostra a la figura.
A la vista de la figura, calcula raonadament el valor de:
La circumferència goniomètrica queda dividida pels eixos en quatre quadrants, numerats en sentit antihorari des del semieix positiu de $X$. El quadrant en què cau el costat terminal de $\alpha$ determina, sense necessitat de calcular res, si $\sen\ \alpha$ i $\cos\ \alpha$ són positius o negatius: n'hi ha prou de mirar el signe de l'ordenada i de l'abscissa en aquesta zona.
Practica★☆☆Sense començar
Indica en quin quadrant es troba el costat terminal de cadascun d'aquests angles: $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indica en quin quadrant es troba el costat terminal de cadascun d'aquests angles:
Sense usar la calculadora, indica el signe (positiu o negatiu) de cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques, raonant a quin quadrant pertany cada angle: $\sin 130º$…
Sense usar la calculadora, indica el signe (positiu o negatiu) de cadascuna d'aquestes raons trigonomètriques, raonant a quin quadrant pertany cada angle:
A la figura s'ha representat un angle $\alpha$ en la circumferència goniomètrica, amb les projeccions del seu punt $P$ sobre els eixos. A la vista de la figura, indica…
A la figura s'ha representat un angle $\alpha$ en la circumferència goniomètrica, amb les projeccions del seu punt $P$ sobre els eixos.
A la vista de la figura, indica el signe de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ i de $\tan \alpha$, justificant cada resposta a partir de les coordenades del punt $P$.
Com es calcula, per exemple, $\sen\ 135º$ sense calculadora? La clau és el triangle de referència: el triangle rectangle que es forma entre el costat terminal, la seva projecció sobre l'eix $X$ i el mateix eix $X$. Aquest triangle té un angle agut —l'angle de referència— les raons del qual coincideixen, llevat del signe, amb les de l'angle original.
Practica★★☆Sense començar
A la figura s'ha representat l'angle de $135º$ en la circumferència goniomètrica, juntament amb el seu triangle de referència. Sabent que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$…
A la figura s'ha representat l'angle de $135º$ en la circumferència goniomètrica, juntament amb el seu triangle de referència.
Sabent que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacte de $\sin 135º$ i de $\cos 135º$, atenent al quadrant en què està el punt $P$.
Un veler navega amb rumb $220º$. En nàutica, el rumb es mesura en sentit horari a partir del nord; en matemàtiques, els angles es mesuren en sentit antihorari a partir…
Un veler navega amb rumb $220º$. En nàutica, el rumb es mesura en sentit horari a partir del nord; en matemàtiques, els angles es mesuren en sentit antihorari a partir de l'est (semieix $X$ positiu).
Expressa el rumb del veler com un angle matemàtic $\alpha$ entre $0º$ i $360º$.
Indica en quin quadrant navega el veler i el signe de $\sin \alpha$ i de $\cos \alpha$.
Considera l'angle $\alpha = 215º$. Indica en quin quadrant es troba el seu costat terminal. Determina el signe de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ i $\tan \alpha$. Escriu…
Considera l'angle $\alpha = 215º$.
Indica en quin quadrant es troba el seu costat terminal.
Determina el signe de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ i $\tan \alpha$.
Escriu $\alpha$ com a $180º$ més un angle agut, i també com un angle negatiu comprès entre $-360º$ i $0º$.
La tangent es defineix com $\tg\ \alpha = \dfrac{\sen\ \alpha}{\cos\ \alpha}$. Com tota divisió, falla quan el denominador és $0$: quan $\cos\ \alpha = 0$, la tangent no existeix. Això passa exactament en $90º$ i en $270º$, els dos punts on el costat terminal cau sobre l'eix $Y$.
Practica★★☆Sense començar
Determina en quin quadrant es troba cadascun dels angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ sabent que: $\sin \alpha < 0$ i $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ i…
Determina en quin quadrant es troba cadascun dels angles $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ sabent que:
$\sin \alpha < 0$ i $\tan \alpha > 0$
$\cos \beta > 0$ i $\sin \beta < 0$
$\cos \gamma < 0$ i $\tan \gamma < 0$
Indica també el signe de la raó trigonomètrica que falta en cada cas.
Una sínia gira en sentit antihorari. Una de les seves cabines parteix del punt més baix i, després del recorregut complet d'un cicle, ha girat un total de $750º$.…
Una sínia gira en sentit antihorari. Una de les seves cabines parteix del punt més baix i, després del recorregut complet d'un cicle, ha girat un total de $750º$.
Quantes voltes completes ha donat la cabina?
Quin angle menor de $360º$ descriu la seva posició final respecte a la de partida?
Si el gir hagués sigut de $1500º$, on acabaria la cabina?
Indica si cadascuna d'aquestes afirmacions és vertadera o falsa, raonant la teva resposta: Existeix algun angle $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$. Si…
Indica si cadascuna d'aquestes afirmacions és vertadera o falsa, raonant la teva resposta:
Existeix algun angle $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1,4$.
Si $\sin \alpha > 0$, aleshores $\alpha$ pertany al primer quadrant.
Torna al principi: El gir de $750º$ de la sínia equival a $2$ voltes completes més $30º$ ($750º = 2 \cdot 360º + 30º$), de manera que l'altura de la cistella respecte al centre és proporcional a $\sen\ 750º = \sen\ 30º = 0{,}5$ vegades el radi.
Resum
A practicar! 8 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat