Longituds, àrees i volums
Ja saps que en escalar una figura per $k$, l'àrea canvia per $k^2$ i el volum per $k^3$. Ara ho usaràs en tots dos sentits: donada $k$, trobar l'àrea o el volum; i donada una àrea o un volum, trobar $k$. És l'eina que hi ha darrere de les maquetes, els mapes, els preus dels productes i fins i tot del perquè els ratolins es refreden més de pressa que els elefants.
Repàs: perímetre, àrea i volum amb raó $k$
Dos pentàgons són semblants amb una raó de semblança $k = 3$. Si el perímetre del pentàgon menor és de $15 \text{ cm}$ i la seva àrea és de $20 \text{ cm}^2$, calcula el…
Dos pentàgons són semblants amb una raó de semblança $k = 3$. Si el perímetre del pentàgon menor és de $15 \text{ cm}$ i la seva àrea és de $20 \text{ cm}^2$, calcula el perímetre i l'àrea del pentàgon major.
L'àrea d'un triangle és de $12 \text{ cm}^2$. Es dibuixa un segon triangle semblant al primer, però amb els costats que mesuren exactament la meitat. Calcula l'àrea…
L'àrea d'un triangle és de $12 \text{ cm}^2$. Es dibuixa un segon triangle semblant al primer, però amb els costats que mesuren exactament la meitat. Calcula l'àrea d'aquest nou triangle.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
De la raó d'àrees (o volums) a $k$
Quan la dada és una raó d'àrees o de volums, cal desfer el camí: arrel quadrada per passar d'àrees a $k$, arrel cúbica per passar de volums a $k$.
La raó entre les àrees de dos hexàgons semblants és $\frac{16}{25}$. Determina quina és la raó de semblança entre els seus costats corresponents.
La raó entre les àrees de dos hexàgons semblants és $\frac{16}{25}$. Determina quina és la raó de semblança entre els seus costats corresponents.
Es tenen dos cubs semblants. El volum del cub més petit és de $8 \text{ cm}^3$ i el volum del cub més gran és de $64 \text{ cm}^3$. Troba la raó de semblança $k$ entre…
Es tenen dos cubs semblants. El volum del cub més petit és de $8 \text{ cm}^3$ i el volum del cub més gran és de $64 \text{ cm}^3$. Troba la raó de semblança $k$ entre les aristes de tots dos cubs.
Dos camps de conreu triangulars són semblants. Les dimensions del camp més petit són $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ i $50 \text{ m}$, i la seva àrea és de…
Dos camps de conreu triangulars són semblants. Les dimensions del camp més petit són $30 \text{ m}$, $40 \text{ m}$ i $50 \text{ m}$, i la seva àrea és de $600 \text{ m}^2$. Si el perímetre del camp més gran és de $360 \text{ m}$, calcula l'àrea d'aquest segon camp.
Escales de mapes i plànols: longitud i àrea
Una escala $1:n$ és una raó de semblança $k = n$ entre el dibuix i la realitat, però aquesta $n$ només s'aplica directament a longituds. Per a àrees reals a partir d'àrees en el plànol (o a l'inrevés), cal elevar-la al quadrat.
Un mapa de carreteres està dissenyat a una escala de $1:50\,000$. Si un tram recte de carretera mesura $4 \text{ cm}$ al mapa, calcula quants quilòmetres mesura aquest…
Un mapa de carreteres està dissenyat a una escala de $1:50\,000$. Si un tram recte de carretera mesura $4 \text{ cm}$ al mapa, calcula quants quilòmetres mesura aquest tram en la realitat.
Una parcel·la de terreny rectangular té una àrea real de $400 \text{ m}^2$. En un plànol urbanístic, aquesta mateixa parcel·la ocupa una àrea de $4 \text{ cm}^2$.…
Una parcel·la de terreny rectangular té una àrea real de $400 \text{ m}^2$. En un plànol urbanístic, aquesta mateixa parcel·la ocupa una àrea de $4 \text{ cm}^2$. Calcula l'escala numèrica a la qual està dibuixat el plànol.
En un mapa topogràfic amb una escala de $1:250\,000$, un parc natural ocupa una extensió de $12 \text{ cm}^2$. Sabent que $1 \text{ hectàrea (ha)}$ equival a…
En un mapa topogràfic amb una escala de $1:250\,000$, un parc natural ocupa una extensió de $12 \text{ cm}^2$. Sabent que $1 \text{ hectàrea (ha)}$ equival a $10\,000 \text{ m}^2$, calcula l'extensió real del parc natural expressada en hectàrees.
Massa, volum i densitat
Si dos objectes són del mateix material, la seva massa és proporcional al seu volum: canvia amb $k^3$, igual que el volum. Per això una figura «una mica més gran» pot pesar molt més.
Una maqueta d'un cotxe esportiu està fabricada a una escala de $1:24$. Si el cotxe real té una longitud de $4,8 \text{ m}$, esbrina quina és la longitud de la maqueta…
Una maqueta d'un cotxe esportiu està fabricada a una escala de $1:24$. Si el cotxe real té una longitud de $4,8 \text{ m}$, esbrina quina és la longitud de la maqueta expressada en centímetres.
La maqueta d'un monument històric s'ha construït a una escala de $1:40$. Si el volum de la maqueta és de $0,05 \text{ m}^3$ i la seva superfície exterior mesura…
La maqueta d'un monument històric s'ha construït a una escala de $1:40$. Si el volum de la maqueta és de $0,05 \text{ m}^3$ i la seva superfície exterior mesura $1,2 \text{ m}^2$, troba el volum real del monument en $\text{m}^3$ i la seva superfície real en $\text{m}^2$.
Una dissenyadora imprimeix en 3D una petita figura de plàstic que pesa $30 \text{ g}$. En veure el resultat, decideix imprimir una versió semblant però ampliada al…
Una dissenyadora imprimeix en 3D una petita figura de plàstic que pesa $30 \text{ g}$. En veure el resultat, decideix imprimir una versió semblant però ampliada al $150\%$ de la seva mida original. Suposant que la densitat del rebliment de plàstic és idèntica en totes dues impressions, calcula el pes de la nova figura.
Àrea, cost i capacitat
Molts problemes reals enllacen dues magnituds diferents: cost (proporcional a l'àrea, com pintar o fabricar una llauna) i capacitat (proporcional al volum). Cal identificar primer quina de les dues és la que escala en cada part del problema.
Una marca de sopes comercialitza el seu producte en dues llaunes cilíndriques semblants. La quantitat de llauna necessària per fabricar la llauna gran (la seva àrea…
Una marca de sopes comercialitza el seu producte en dues llaunes cilíndriques semblants. La quantitat de llauna necessària per fabricar la llauna gran (la seva àrea superficial) és $4$ vegades més gran que la necessària per a la llauna petita. Si la llauna petita conté $250 \text{ ml}$ de sopa, esbrina quants litres conté la llauna gran.
Una pilota de bàsquet reglamentària té un diàmetre de $24 \text{ cm}$, mentre que una pilota de tennis té un diàmetre de $6 \text{ cm}$. Assumint que totes dues són…
Una pilota de bàsquet reglamentària té un diàmetre de $24 \text{ cm}$, mentre que una pilota de tennis té un diàmetre de $6 \text{ cm}$. Assumint que totes dues són esferes perfectes, determina quantes vegades és més gran la superfície de la pilota de bàsquet respecte a la pilota de tennis, i quantes vegades és més gran el seu volum.
Un pintor vol fer un mural en una paret ampliant un esborrany previ. L'esborrany està dibuixat sobre un llenç rectangular de $20 \text{ cm}$ d'amplada per…
Un pintor vol fer un mural en una paret ampliant un esborrany previ. L'esborrany està dibuixat sobre un llenç rectangular de $20 \text{ cm}$ d'amplada per $30 \text{ cm}$ d'alçada. La paret destinada al mural té una àrea total de $24 \text{ m}^2$ i el mural final serà exactament semblant a l'esborrany, i ocuparà tota la paret. Quines seran les dimensions del mural en metres?
Una fàbrica de joguines produeix piràmides massisses de fusta. Pintar la superfície d'una piràmide petita costa $2,50 \text{ €}$ (el cost és directament proporcional a…
Una fàbrica de joguines produeix piràmides massisses de fusta. Pintar la superfície d'una piràmide petita costa $2,50 \text{ €}$ (el cost és directament proporcional a l'àrea superficial) i per a la seva fabricació s'empren $100 \text{ cm}^3$ de fusta. Si es fabrica una piràmide major, semblant a la primera, que requereix $800 \text{ cm}^3$ de fusta, quin serà el cost de pintar aquesta piràmide gran?
La relació superfície/volum
Quan un cos creix mantenint la forma, el volum creix més de pressa que la superfície ($k^3$ enfront de $k^2$). Per això la raó superfície/volum es redueix en augmentar de mida: és la clau del perquè els animals petits perden calor més de pressa i les cèl·lules no poden créixer indefinidament.
La pantalla d'un telèfon intel·ligent té una àrea de $A \text{ cm}^2$. El fabricant llança un nou model "Pro" amb exactament la mateixa proporció (és a dir, una pantalla…
La pantalla d'un telèfon intel·ligent té una àrea de $A \text{ cm}^2$. El fabricant llança un nou model "Pro" amb exactament la mateixa proporció (és a dir, una pantalla semblant), però la diagonal de la qual és un $20\%$ més gran que la del model estàndard. En quin percentatge exacte s'incrementa l'àrea de la pantalla? Addicionalment, si totes les dimensions tridimensionals del telèfon augmenten un $20\%$, en quin percentatge augmentarà el seu volum total?
Una estàtua de bronze exposada en una plaça té una massa de $432 \text{ kg}$. A la botiga del museu es ven una rèplica a escala fabricada exactament amb el mateix…
Una estàtua de bronze exposada en una plaça té una massa de $432 \text{ kg}$. A la botiga del museu es ven una rèplica a escala fabricada exactament amb el mateix aliatge de bronze, la massa de la qual és de $2 \text{ kg}$. Si l'àrea superficial de la rèplica és de $450 \text{ cm}^2$, troba l'àrea superficial de l'estàtua original expressada en $\text{m}^2$.
En biologia, la relació entre la superfície i el volum d'una cèl·lula determina la seva capacitat per intercanviar nutrients. Considera una cèl·lula esfèrica de radi…
En biologia, la relació entre la superfície i el volum d'una cèl·lula determina la seva capacitat per intercanviar nutrients. Considera una cèl·lula esfèrica de radi $r$. Si la cèl·lula creix de manera que el seu nou radi és $k \cdot r$ (amb $k > 1$), demostra matemàticament que la relació superfície/volum es redueix per un factor de $\frac{1}{k}$. A continuació, calcula el valor exacte de la nova relació superfície/volum si el radi original era de $2 \,\mu\text{m}$ i el factor de creixement és $k = 3$.