Funcions definides a trossos

Donada la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcula el valor de la funció en els punts $x = -2$, $x = 0$ i $x = 3$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina el seu domini i el seu recorregut.

Expressa la funció de valor absolut $f(x) = |3x - 6|$ com una funció definida a trossos.

Un pàrquing cèntric cobra una tarifa de $2$ € per la primera hora d'estada (o fracció). A partir de la primera hora, cobra a raó de $1,50$ € per cada hora addicional, i factura el temps extra de manera proporcional als minuts exactes d'estada. Escriu la funció definida a trossos $C(x)$ que representa el cost total en funció de les hores $x$ que el cotxe roman al pàrquing.

Una companyia de telefonia mòbil ofereix una tarifa de dades que funciona de la manera següent: es paga una quota fixa mensual de $15$ € que inclou els primers $5$ GB de descàrrega. Si es supera aquest límit, cada gigabyte addicional (o fracció proporcional) es cobra a $2$ €.

Escriu la funció $C(x)$ que representa el cost mensual en funció dels gigabytes $x$ consumits, i calcula quant pagarà un client que ha consumit $3$ GB i un altre que ha consumit $8,5$ GB.

Troba el punt de ruptura de la funció següent i determina si és contínua en aquest punt:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la funció definida a trossos següent sigui contínua en tot el seu domini:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Expressa la funció $f(x) = |x - 2| + 3x$ com una funció definida a trossos sense utilitzar el valor absolut i calcula els valors de $f(0)$ i $f(5)$.

Un tren de rodalies arrenca des d'una estació i accelera de manera constant fins a assolir una velocitat de $20$ m/s en $10$ segons. Manté aquesta velocitat de creuer durant $30$ segons i, finalment, frena de manera uniforme fins a aturar-se per complet a la següent estació en $5$ segons. Escriu la funció a trossos $v(t)$ que descriu la velocitat del tren en funció del temps transcorregut des de l'arrencada.

A partir de la gràfica de la funció $h(x)$, que està composta per un arc de paràbola i una semirrecta, troba la seva expressió analítica.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua en $x=1$ i passi pel punt $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una vegada trobats $a$ i $b$, comprova matemàticament si la funció resulta ser contínua també en $x=3$.

Expressa la funció $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ com una funció definida a trossos, eliminant els valors absoluts, i simplifica l'expressió de cadascun dels trams resultants.

Una sala de teatre ofereix un preu d'entrada de $10$ € si hi assisteixen fins a un màxim de $50$ persones. Per fomentar l'assistència de grups grans, per cada persona que excedeixi de $50$, el preu de l'entrada per a tots els assistents es redueix en $0,10$ €.

Escriu la funció d'ingressos totals del teatre $I(x)$ en funció del nombre d'assistents $x$ (com a funció a trossos) i determina quantes persones han d'assistir perquè el teatre obtingui el màxim ingrés possible.

Observa la gràfica següent de la funció $p(x)$ i determina la seva expressió analítica completa. A partir d'aquesta, indica el seu domini, el seu recorregut i classifica les discontinuïtats que presenta.