Operacions amb vectors
Dos remolcadors estiren d'un vaixell en direccions diferents, el vent desvia la trajectòria d'un avió, un videojoc combina el moviment d'un personatge amb el d'un projectil: en tots els casos cal combinar vectors. Les regles per fer-ho són sempre les mateixes, tant si treballen sobre un mapa real com si no.
Suma, resta i producte per un nombre
Donats els punts $A(3, -2)$ i $B(5, 4)$, calcula les coordenades del vector $\vec{AB}$ i del vector $\vec{BA}$.
Donats els punts $A(3, -2)$ i $B(5, 4)$, calcula les coordenades del vector $\vec{AB}$ i del vector $\vec{BA}$.
Donats els vectors $\vec{u} = (4, -1)$ i $\vec{v} = (-2, 5)$, calcula les coordenades del vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ i del vector diferència $\vec{u} - \vec{v}$.
Donats els vectors $\vec{u} = (4, -1)$ i $\vec{v} = (-2, 5)$, calcula les coordenades del vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ i del vector diferència $\vec{u} - \vec{v}$.
Donat el vector $\vec{w} = (3, -7)$, calcula les coordenades dels vectors $2\vec{w}$ i $-\frac{1}{2}\vec{w}$.
Donat el vector $\vec{w} = (3, -7)$, calcula les coordenades dels vectors $2\vec{w}$ i $-\frac{1}{2}\vec{w}$.
Combinació lineal
Expressa el vector $\vec{w} = (1, 11)$ com a combinació lineal dels vectors $\vec{u} = (2, 3)$ i $\vec{v} = (-1, 5)$. És a dir, troba els valors de $a$ i $b$ tals que…
Expressa el vector $\vec{w} = (1, 11)$ com a combinació lineal dels vectors $\vec{u} = (2, 3)$ i $\vec{v} = (-1, 5)$. És a dir, troba els valors de $a$ i $b$ tals que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$.
Donats els punts $A(1, 2)$, $B(3, -1)$ i $C(0, 4)$, troba les coordenades d'un punt $D$ que compleixi l'equació vectorial $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sabent que…
Donats els punts $A(1, 2)$, $B(3, -1)$ i $C(0, 4)$, troba les coordenades d'un punt $D$ que compleixi l'equació vectorial $2\vec{AB} - 3\vec{CD} = \vec{v}$, sabent que el vector $\vec{v}$ té coordenades $(-5, 2)$.
Vector unitari
En física de partícules, un feix de protons segueix una trajectòria rectilínia amb vector director $\vec{v} = (3, -4)$. Troba un vector unitari (de mòdul 1) que tingui…
En física de partícules, un feix de protons segueix una trajectòria rectilínia amb vector director $\vec{v} = (3, -4)$. Troba un vector unitari (de mòdul 1) que tingui la mateixa direcció i sentit que $\vec{v}$, i un altre vector que tingui la mateixa direcció, sentit oposat i mòdul 10.
Simètric d'un punt
Troba les coordenades del punt simètric de $A(1, 4)$ respecte del punt $M(3, -2)$.
Troba les coordenades del punt simètric de $A(1, 4)$ respecte del punt $M(3, -2)$.
El vector $\vec{v} = (5, 2)$ té l'origen al punt $A(-3, 1)$. Determina les coordenades del seu extrem $B$.
El vector $\vec{v} = (5, 2)$ té l'origen al punt $A(-3, 1)$. Determina les coordenades del seu extrem $B$.
Dividir un segment en una raó donada
De vegades no vols el punt mitjà, sinó un punt $P$ que repartisca el segment $AB$ en una proporció concreta, com $\vec{AP} = 2\vec{PB}$ (el tros $AP$ és el doble que $PB$). Es tradueix la condició a components i s'aïlla.
Calcula les coordenades d'un punt $P$ que divideix el segment d'extrems $A(-2, 5)$ i $B(7, -1)$ de manera que la distància de $A$ a $P$ sigui el doble que la distància…
Calcula les coordenades d'un punt $P$ que divideix el segment d'extrems $A(-2, 5)$ i $B(7, -1)$ de manera que la distància de $A$ a $P$ sigui el doble que la distància de $P$ a $B$. És a dir, es compleix la relació vectorial $\vec{AP} = 2\vec{PB}$.
Torna al principi: Si dos remolcadors estiren amb forces $\vec{F}_1 = (30, 10)\text{ kN}$ i $\vec{F}_2 = (10, 20)\text{ kN}$, la força resultant sobre el vaixell és la suma $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (40, 30)\text{ kN}$, amb una intensitat total de $|\vec{R}| = \sqrt{40^2+30^2} = 50\text{ kN}$.