Propietats dels radicals i racionalització

Extreu tots els factors possibles dels radicals següents:

1. a) $\sqrt{72}$
2. b) $\sqrt[3]{250}$

Simplifica els radicals següents dividint l'índex i l'exponent pel seu màxim comú divisor:

1. a) $\sqrt[6]{27}$
2. b) $\sqrt[8]{16}$

Expressa com un únic radical i simplifica el resultat:

1. a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
2. b) $\left(\sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)^6$

Efectua les sumes i restes següents de radicals semblants:

1. a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
2. b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$

Efectua la següent operació, extraient primer els factors necessaris perquè els radicals siguin semblants:

$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$

Efectua les multiplicacions següents de radicals amb el mateix índex i extreu factors si és possible:

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Redueix a índex comú i efectua la següent multiplicació i divisió de radicals:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$

Simplifica la següent expressió introduint els factors en el radical més interior i expressant-ho com una única arrel:

$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$

Racionalitza el denominador de les fraccions següents i simplifica el resultat:

1. a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
2. b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Racionalitza les expressions següents multiplicant pel conjugat del denominador:

1. a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
2. b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Racionalitza les fraccions següents amb arrels d'índex superior a 2:

1. a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
2. b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$

Racionalitza el denominador de la següent fracció i simplifica al màxim operant el numerador:

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

En un taller de fusteria, es tallarà un tauler rectangular les dimensions exactes del qual són $\sqrt{12}$ dm d'amplada i $\sqrt{27}$ dm de llargada. Calcula l'àrea i el perímetre del tauler, expressant els resultats de manera exacta mitjançant radicals simplificats.

Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ d'un cub l'aresta del qual mesura $a = \sqrt{5}$ cm. Recorda que la diagonal d'un cub es calcula com a $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Expressa el resultat de la forma més simplificada possible.

La façana d'una cabanya té forma de triangle isòsceles. La base del triangle mesura $\sqrt{6}$ metres i els dos costats iguals mesuren $\sqrt{15}$ metres cadascun. Calcula el valor exacte de l'altitud $h$ sobre la base i l'àrea total de la façana. Racionalitza els resultats si apareixen arrels al denominador.

En física, la velocitat $v$ d'un objecte es pot aïllar a partir de la seva energia cinètica $E_c$ i la seva massa $m$ mitjançant la fórmula $v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}}$. Si un prototip de vehicle té una massa de $m = \sqrt{3}$ kg i la seva energia cinètica és $E_c = 45$ J, calcula el valor exacte de la seva velocitat. Racionalitza i extreu els factors possibles de l'arrel resultant.