Potències d'exponent racional. Radicals

Expressa com a radical les potències d'exponent fraccionari següents i calcula el seu valor exacte si és un nombre enter:

• a) $27^{\frac{1}{3}}$

• b) $16^{\frac{3}{4}}$

• c) $5^{\frac{2}{3}}$

Escriu en forma de potència d'exponent fraccionari els radicals següents i simplifica la fracció de l'exponent:

• a) $\sqrt[6]{x^2}$

• b) $\sqrt[15]{a^5}$

• c) $\sqrt[8]{2^6}$

Extreu tots els factors possibles de l'interior dels radicals següents:

• a) $\sqrt{50}$

• b) $\sqrt[3]{16}$

• c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$

Introdueix els factors dins del radical i simplifica l'expressió resultant si és possible:

• a) $3 \sqrt{2}$

• b) $x^2 \sqrt[3]{x}$

• c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, amb $a \ge 0$

Realitza els productes següents de radicals del mateix índex i extreu factors del resultat si és possible:

• a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

• b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$

Calcula i simplifica el resultat de les divisions de radicals següents:

• a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

• b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula les potències de radicals següents, introduint l'exponent al radicand i expressant el resultat de la manera més senzilla possible:

• a) $(\sqrt[3]{5})^6$

• b) $(\sqrt{x^3})^4$

Expressa com un únic radical utilitzant la propietat de l'arrel d'una arrel i simplifica l'índex si es pot:

• a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

• b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$

Per a la fabricació de tres components electrònics es requereixen làmines protectores el gruix de les quals, mesurat en mil·límetres, ve donat per les expressions $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ i $C = \sqrt[6]{24}$. Redueix els radicals a índex comú per ordenar els gruixos de les làmines de menor a major.

Simplifica l'expressió següent amb radicals aniuats introduint progressivament els factors en els radicals més interns i expressant el resultat final com una sola arrel:

En un laboratori de biologia, el nombre de bacteris d'un determinat cultiu segueix l'expressió $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, on $t$ és el temps transcorregut en hores. Expressa aquesta fórmula utilitzant radicals i calcula el nombre exacte de bacteris que hi haurà quan hagin transcorregut $2$ hores.

Una plaça circular té una àrea de $120\pi$ m$^2$. Sabent que l'àrea d'un cercle ve donada per la fórmula $A = \pi r^2$, calcula el radi exacte de la plaça simplificant el radical al màxim.

La tercera llei de Kepler relaciona el període orbital $T$ d'un planeta amb el radi mitjà de la seva òrbita $r$ mitjançant l'expressió $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si per a un sistema estel·lar fictici la constant és $k = 4 \cdot 10^{-6}$ i un planeta orbita a un radi mitjà $r = 25 \cdot 10^4$ km, calcula el període orbital exacte utilitzant les propietats de les potències d'exponent racional i els radicals.

En navegació marítima, la distància $d$ (en quilòmetres) a la qual es troba l'horitzó visible per a un observador situat a una altitud $h$ (en metres) sobre el nivell del mar s'aproxima mitjançant la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadors es troben en diferents punts d'un penya-segat a altituds $h_1 = 52$ m i $h_2 = 117$ m respectivament. Calcula la diferència exacta de les seves distàncies a l'horitzó visible, simplificant l'expressió $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mitjançant l'extracció de factors.