Estudiar una funció
Fins ara cada apartat del bloc ha treballat una propietat d'una funció per separat: el seu domini, la seva simetria, el seu creixement, el seu comportament a llarg termini. Al Batxillerat es demanarà reunir totes aquestes propietats en una única anàlisi, sistemàtica i en un ordre fix, per poder esbossar la gràfica sense necessitat de tabular desenes de punts. Aquest procediment és «estudiar una funció», i és el que es practica en aquest apartat.
El procediment, pas a pas
Seguir sempre el mateix ordre evita oblidar propietats i permet reutilitzar cada resultat en el pas següent: per exemple, si la funció és imparella, n'hi ha prou d'estudiar la monotonia en la meitat positiva del domini.
A partir d'una funció la gràfica de la qual està formada per dos trams continus: El primer tram va des del punt $(-3, 2)$ (inclòs) fins al punt $(1, 4)$ (no inclòs), i…
A partir d'una funció la gràfica de la qual està formada per dos trams continus:
-
El primer tram va des del punt $(-3, 2)$ (inclòs) fins al punt $(1, 4)$ (no inclòs), i té un màxim relatiu a $(-1, 5)$.
-
El segon tram va des del punt $(1, -1)$ (inclòs) fins al punt $(8, 3)$ (inclòs), i té un mínim relatiu a $(4, -2)$.
Determina el seu domini i el seu recorregut.
Domini, punts de tall i simetria
Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.
Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$.
Determina analíticament si la funció $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ és simètrica parell, simètrica senar o no té simetria.
Determina analíticament si la funció $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ és simètrica parell, simètrica senar o no té simetria.
Calcula el domini de definició de la funció irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Calcula el domini de definició de la funció irracional $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Troba el domini de definició de la funció racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.
Troba el domini de definició de la funció racional $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.
Monotonia, extrems i taxa de variació
Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció $f(x) = 2x^2 - 3x$ en l'interval $[-1, 2]$.
Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció $f(x) = 2x^2 - 3x$ en l'interval $[-1, 2]$.
A partir de la gràfica següent, indica els intervals de monotonia (creixement i decreixement) i les coordenades dels seus extrems relatius.
A partir de la gràfica següent, indica els intervals de monotonia (creixement i decreixement) i les coordenades dels seus extrems relatius.
Estudia la continuïtat de la funció següent definida a trossos al punt $x = 1$:…
Estudia la continuïtat de la funció següent definida a trossos al punt $x = 1$:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$
La posició d'un objecte en moviment rectilini ve donada per la funció $e(t) = 5t^2 + 2t$, on $e$ és l'espai en metres i $t$ el temps en segons. Calcula la velocitat…
La posició d'un objecte en moviment rectilini ve donada per la funció $e(t) = 5t^2 + 2t$, on $e$ és l'espai en metres i $t$ el temps en segons. Calcula la velocitat mitjana (taxa de variació mitjana) en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$, i indica en quin interval l'objecte es va moure més ràpid.
Tendència i asímptotes
Identifica les equacions de l'asímptota vertical i l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.
Identifica les equacions de l'asímptota vertical i l'asímptota horitzontal de la funció $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.
Determina les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.
Determina les equacions de les asímptotes verticals i horitzontals de la funció $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.
Exemple complet: la fitxa d'una funció
Descriu el comportament de la funció $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analitzant el seu domini, els seus punts de tall amb els eixos, la seva simetria i les seves…
Descriu el comportament de la funció $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analitzant el seu domini, els seus punts de tall amb els eixos, la seva simetria i les seves asímptotes horitzontals i verticals.
Donada la funció següent definida a trossos, estudia el seu domini, la seva continuïtat, els seus punts de tall amb els eixos i els seus intervals de monotonia:…
Donada la funció següent definida a trossos, estudia el seu domini, la seva continuïtat, els seus punts de tall amb els eixos i els seus intervals de monotonia:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$
Demostra analíticament si la funció $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ és simètrica parell, senar o cap de les dues. A continuació, calcula els seus punts de tall amb els…
Demostra analíticament si la funció $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ és simètrica parell, senar o cap de les dues. A continuació, calcula els seus punts de tall amb els eixos i determina les equacions de les seves asímptotes verticals i horitzontals.