Equació punt-pendent de la recta
La forma explícita $y=mx+n$ exigeix conèixer l'ordenada a l'origen, una dada que no sempre està disponible. L'equació punt-pendent permet escriure l'equació d'una recta a partir de qualsevol punt pel qual passi i la seva pendent, sense necessitat de calcular abans on talla l'eix $Y$. És l'eina algebraica central per determinar rectes en geometria analítica.
Deducció de l'equació punt-pendent
Si una recta té pendent $m$ i passa per $P(x_1,y_1)$, per a qualsevol altre punt $(x,y)$ de la recta es compleix, per definició de pendent, $$m = \frac{y-y_1}{x-x_1}$$ Multiplicant tots dos membres per $(x-x_1)$ s'obté la forma punt-pendent.
Escriu l'equació punt-pendent de la recta que passa pel punt $P(3, -2)$ i té pendent $m = 4$.
Escriu l'equació punt-pendent de la recta que passa pel punt $P(3, -2)$ i té pendent $m = 4$.
Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(-1, 5)$ i $B(2, 11)$. A continuació, escriu la seva equació en forma punt-pendent utilitzant el punt $A$.
Calcula el pendent de la recta que passa pels punts $A(-1, 5)$ i $B(2, 11)$. A continuació, escriu la seva equació en forma punt-pendent utilitzant el punt $A$.
Donada la recta d'equació $y - 5 = -2(x + 1)$, indica quin és el seu pendent i obtén directament de la fórmula les coordenades d'un punt per on passa.
Donada la recta d'equació $y - 5 = -2(x + 1)$, indica quin és el seu pendent i obtén directament de la fórmula les coordenades d'un punt per on passa.
De punt-pendent a forma explícita i a forma general
Transforma l'equació punt-pendent $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a la seva forma explícita $y = mx + n$.
Transforma l'equació punt-pendent $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a la seva forma explícita $y = mx + n$.
Escriu l'equació punt-pendent de la recta paral·lela a $y = 3x - 7$ que passa pel punt $Q(-4, 1)$.
Escriu l'equació punt-pendent de la recta paral·lela a $y = 3x - 7$ que passa pel punt $Q(-4, 1)$.
Una companyia de lloguer de bicicletes cobra una quantitat fixa pel servei més un preu constant per hora d'ús. Es sap que per un lloguer de $3$ hores es paguen $14$ € i…
Una companyia de lloguer de bicicletes cobra una quantitat fixa pel servei més un preu constant per hora d'ús. Es sap que per un lloguer de $3$ hores es paguen $14$ € i per un lloguer de $5$ hores es paguen $20$ €. Determina el pendent de la funció lineal de cost i escriu la seva equació punt-pendent prenent les dades del primer client.
Recta determinada per dos punts
Quan es coneixen dos punts $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ d'una recta ($x_1 \neq x_2$), el procediment és sempre el mateix: calcular primer el pendent i, després, aplicar l'equació punt-pendent amb qualsevol dels dos punts.
Troba l'equació punt-pendent de la recta que és perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ i que passa per l'origen de coordenades.
Troba l'equació punt-pendent de la recta que és perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ i que passa per l'origen de coordenades.
Comprova analíticament si els punts $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ i $C(5, -10)$ estan alineats. Per fer-ho, troba primer l'equació punt-pendent de la recta que passa per $A$ i…
Comprova analíticament si els punts $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ i $C(5, -10)$ estan alineats. Per fer-ho, troba primer l'equació punt-pendent de la recta que passa per $A$ i $B$, i després verifica si les coordenades de $C$ satisfan aquesta equació.
Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $y - 3 = k(x + 2)$ passi pel punt d'intersecció de les rectes $r: 2x + y - 8 = 0$ i $s: x - 3y + 3 = 0$.
Determina el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $y - 3 = k(x + 2)$ passi pel punt d'intersecció de les rectes $r: 2x + y - 8 = 0$ i $s: x - 3y + 3 = 0$.
Rectes paral·leles i perpendiculars
Un cotxe circula per una carretera recta a velocitat constant. A les $10:00$ hores es troba al quilòmetre $45$ i a les $12:30$ hores passa pel quilòmetre $245$. Escriu…
Un cotxe circula per una carretera recta a velocitat constant. A les $10:00$ hores es troba al quilòmetre $45$ i a les $12:30$ hores passa pel quilòmetre $245$. Escriu l'equació punt-pendent que modelitza la posició del cotxe en funció del temps transcorregut des de les $10:00$ hores, expressant el temps en hores.
Troba l'equació punt-pendent de la mediatriu del segment d'extrems $A(-4, 2)$ i $B(2, 6)$. Recorda que la mediatriu és la recta perpendicular al segment que passa pel…
Troba l'equació punt-pendent de la mediatriu del segment d'extrems $A(-4, 2)$ i $B(2, 6)$. Recorda que la mediatriu és la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà.
Aplicacions: alineació de punts i mediatriu
Donat el triangle de vèrtexs $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ i $C(3, 7)$, troba l'equació punt-pendent de l'altura corresponent al vèrtex $C$.
Donat el triangle de vèrtexs $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ i $C(3, 7)$, troba l'equació punt-pendent de l'altura corresponent al vèrtex $C$.
Les escales de temperatura Celsius ($^\circ C$) i Fahrenheit ($^\circ F$) tenen una relació lineal. Sabent que l'aigua es congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) i bull a…
Les escales de temperatura Celsius ($^\circ C$) i Fahrenheit ($^\circ F$) tenen una relació lineal. Sabent que l'aigua es congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) i bull a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), dedueix l'equació punt-pendent que permet convertir graus Celsius a Fahrenheit utilitzant el punt de congelació. A continuació, utilitza-la per calcular la temperatura en Fahrenheit equivalent a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.