Aplicacions de la trigonometria
Tota la trigonometria d'angles orientats que has vist té una aplicació molt concreta: la Terra és (gairebé) una esfera, i la seva forma es descriu amb dos angles, la latitud i la longitud. Farem servir el cosinus per calcular com de gran és, en realitat, un paral·lel —una d'aquestes línies horitzontals que veus als mapes— i la distància entre dues ciutats que hi són.
El radi d'un paral·lel: per què apareix el cosinus
Un paral·lel és una circumferència formada per tots els punts de la Terra que són a la mateixa latitud (l'angle respecte al pla de l'equador). L'equador, a latitud $0º$, té el mateix radi que la Terra sencera; qualsevol altre paral·lel és més petit, perquè «s'estreny» en acostar-se als pols.
Fixa't en el triangle rectangle que formen el centre de la Terra, el centre del paral·lel i un punt del paral·lel: la hipotenusa és $R$ (el radi terrestre), i el catet adjacent a l'angle de latitud $\alpha$ és, precisament, $r$ (el radi del paral·lel).
Per a un projecte escolar, necessites calcular quant mesura de llarg el paral·lel de latitud $40^\circ$ N. Sabent que el radi terrestre és de $R \approx 6\,371$ km,…
Per a un projecte escolar, necessites calcular quant mesura de llarg el paral·lel de latitud $40^\circ$ N. Sabent que el radi terrestre és de $R \approx 6\,371$ km, calcula:
- a) El radi del cercle que forma aquest paral·lel (utilitza l'expressió $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$ i justifica-la a partir del triangle rectangle de la figura).
- b) La longitud total (perímetre) d'aquest paral·lel.
La longitud d'un paral·lel
Un cop conegut el radi $r$ d'un paral·lel, calcular-ne la longitud (el perímetre) és la mateixa fórmula de sempre per a una circumferència: $2\pi r$. La diferència amb l'equador és que aquí el radi ja no és $R$, sinó el $r$ reduït pel cosinus de la latitud.
Distància entre dos punts del mateix paral·lel
Si dues ciutats són al mateix paral·lel però a diferent longitud (l'angle est-oest), la distància entre elles seguint el paral·lel és un arc d'aquesta circumferència més petita, no del globus sencer. Cal primer el radi del paral·lel, i després la fórmula habitual de longitud d'arc amb l'angle que les separa.
Dues ciutats, A i B, es troben en el mateix paral·lel a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciutat A té una longitud de $20^\circ \text{ E}$ i la ciutat B una…
Dues ciutats, A i B, es troben en el mateix paral·lel a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciutat A té una longitud de $20^\circ \text{ E}$ i la ciutat B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.
Sabent que el radi de la Terra és d'aproximadament $6371 \text{ km}$:
-
Calcula el radi del paral·lel $45^\circ \text{ N}$ (Recorda que el radi d'un paral·lel a una latitud $\alpha$ es calcula com a $r = R \cdot \cos \alpha$; per a $45^\circ$ utilitza el valor exacte $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).
-
Determina la distància en quilòmetres que separa totes dues ciutats seguint l'arc del paral·lel.