Independència
Que surti cara en una moneda canvia alguna cosa la probabilitat de treure un $5$ en un dau? No. Per això pots multiplicar sense més les seves probabilitats. Però en un problema amb dades i taules no sempre és evident si dos successos són independents: cal comprovar-ho amb una condició matemàtica precisa, no «a ull».
Definició formal d'independència
Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori. Es sap que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticament si els successos $A$ i $B$…
Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori. Es sap que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticament si els successos $A$ i $B$ són independents.
En un estudi estadístic sobre hàbits de lectura, s'ha enquestat $200$ persones. Els resultats mostren que $120$ llegeixen habitualment i $80$ no ho fan. A més, $90$ dels…
En un estudi estadístic sobre hàbits de lectura, s'ha enquestat $200$ persones. Els resultats mostren que $120$ llegeixen habitualment i $80$ no ho fan. A més, $90$ dels enquestats tenen estudis universitaris, dels quals $54$ llegeixen habitualment. Comprova matemàticament si els successos «llegir habitualment» i «tenir estudis universitaris» són independents en aquesta mostra.
Comprovar la independència a partir de dades
Quan les dades vénen d'una taula, una enquesta o un enunciat amb percentatges, primer cal calcular les tres probabilitats ($P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$) a partir dels recomptes, i després comparar.
Dos successos $M$ i $N$ són incompatibles (mútuament excloents) i tenen probabilitats estrictament més grans que zero. Poden ser independents? Justifica la teva resposta…
Dos successos $M$ i $N$ són incompatibles (mútuament excloents) i tenen probabilitats estrictament més grans que zero. Poden ser independents? Justifica la teva resposta utilitzant la definició matemàtica d'independència.
Es consideren dos successos $A$ i $B$ d'un mateix espai mostral tals que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cup B) = 0,8$. Demostra analíticament que els successos $A$ i…
Es consideren dos successos $A$ i $B$ d'un mateix espai mostral tals que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cup B) = 0,8$. Demostra analíticament que els successos $A$ i $B$ no són independents i, a continuació, calcula la probabilitat condicionada $P(A|B)$.
Independència i la probabilitat de la unió
Siguin $A$ i $B$ dos successos independents associats a un experiment aleatori. Es sap que la probabilitat de la unió és $P(A \cup B) = 0,88$ i la probabilitat de $A$ és…
Siguin $A$ i $B$ dos successos independents associats a un experiment aleatori. Es sap que la probabilitat de la unió és $P(A \cup B) = 0,88$ i la probabilitat de $A$ és $P(A) = 0,6$. Calcula la probabilitat del succés $B$.
Independència en sistemes amb diversos components
Quan diversos components (sensors, tallafocs, jugadors) actuen per separat, sense influir-se, el producte s'estén a tants factors com components hi hagi.
Un sistema de seguretat bancària d'alta tecnologia consta de tres sensors de moviment que operen de forma totalment independent. Les probabilitats que cada sensor…
Un sistema de seguretat bancària d'alta tecnologia consta de tres sensors de moviment que operen de forma totalment independent. Les probabilitats que cada sensor detecti un intrús que entra a la cambra forta són $0,90$, $0,85$ i $0,95$, respectivament. Calcula la probabilitat que el sistema detecti un intrús (és a dir, que almenys un sensor s'activi).
Demostra analíticament que si dos successos $A$ i $B$ són independents, aleshores els seus successos contraris $\overline{A}$ i $\overline{B}$ també són independents.…
Demostra analíticament que si dos successos $A$ i $B$ són independents, aleshores els seus successos contraris $\overline{A}$ i $\overline{B}$ també són independents. Utilitza per a això les propietats algebraiques de la probabilitat i la definició fonamental d'independència.