Logaritmes

Calcula el valor dels logaritmes següents aplicant directament la definició:

• $\log_2 64$

• $\log_3 \frac{1}{9}$

• $\log_{10} 0,001$

• $\log_5 \sqrt{5}$

Troba el valor de la incògnita $x$ en cada cas utilitzant la definició de logaritme:

• $\log_x 81 = 4$

• $\log_2 x = 5$

• $\log_7 x = -2$

Sabent que $\log 2 \approx 0,301$ i $\log 3 \approx 0,477$, calcula el valor numèric aproximat de $\log 6$ i $\log 1,5$ utilitzant les propietats dels logaritmes.

Redueix a un sol logaritme la següent expressió matemàtica i calcula el seu valor numèric:

$\log 5 + \log 20 - \log 10$

Aplica les propietats dels logaritmes a l'inrevés per expressar la següent combinació com un únic logaritme:

$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$

Desenvolupa la següent expressió logarítmica aplicant totes les propietats possibles, de manera que quedi expressada en funció de $\log x$, $\log y$ i $\log z$:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$

Agrupa la següent expressió algebraica en un únic logaritme, aplicant les propietats corresponents:

$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$

Utilitza la fórmula del canvi de base per calcular el valor de $\log_5 120$ emprant únicament la tecla del logaritme decimal ($\log$) o neperià ($\ln$) de la teva calculadora. Arrodona el resultat a tres xifres decimals.

Simplifica la següent expressió logarítmica combinada i calcula el seu valor numèric exacte sense utilitzar la calculadora:

$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$

Demostra, utilitzant la fórmula del canvi de base i les propietats fonamentals dels logaritmes, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ per a qualsevol parell de nombres $a, b > 0$ i diferents de $1$. Una vegada demostrat, aplica aquest resultat per calcular mentalment el valor de $\log_8 2$ sabent prèviament que $\log_2 8 = 3$.

Calcula el valor de $x$ en l'equació exponencial $3^x = 45$. Expressa el resultat final arrodonit a les centèsimes (pots fer servir la calculadora per al pas final).

Resol l'equació logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicant la definició de logaritme per aïllar la incògnita $x$.

Un capital de $5000$ € es diposita en un banc a un interès compost del $3,5\,\%$ anual. Quants anys complets han de transcorrer perquè el capital acumulat superi els $7000$ €?

Recorda que la fórmula del capital final és $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.

Una població de bacteris es duplica cada hora que passa. Si inicialment hi ha $1500$ bacteris, la quantitat de bacteris al cap de $t$ hores ve donada per la funció $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. Quant de temps exacte ha de passar perquè la població assoleixi la xifra de $100000$ bacteris?

Un vehicle nou té un cost inicial de $24000$ €. A causa del desgast del mercat, cada any el seu valor es deprecia un $12\,\%$. La funció que descriu el seu valor residual al cap de $t$ anys és $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. Quants anys han de passar perquè el valor del cotxe es redueixi exactament a la meitat del seu preu original?

Resol l'equació exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ prenent logaritmes decimals en tots dos membres i aïllant la incògnita $x$. Expressa el resultat final arrodonit a les mil·lèsimes.

En una coneguda xarxa social, el nombre de seguidors d'un compte de contingut viral creix seguint un model exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, on $t$ es mesura en dies. Es sap que el dia inicial ($t = 0$) el compte tenia $200$ seguidors i el dia $5$ va assolir els $6400$ seguidors. Calcula primer el valor exacte de la constant de creixement $k$. A continuació, determina en quin dia exacte superarà la barrera del milió de seguidors.

Resol el següent sistema d'equacions logarítmiques, trobant els valors de $x$ i $y$:

El pH d'una dissolució química es defineix mitjançant la fórmula $pH = -\log [H^+]$, on $[H^+]$ representa la concentració d'ions d'hidrogen mesurada en mol/L. Si una mostra de suc de llimona té una concentració d'ions d'hidrogen de $10^{-3}$ mol/L, quin és el valor del seu pH?

La magnitud d'un terratrèmol en l'escala de Richter es calcula mitjançant la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, on $A$ és l'amplitud màxima de les ones sísmiques i $A_0$ és una amplitud de referència estàndard. Si un terratrèmol concret registra una amplitud $1000$ vegades major que $A_0$, quina és la seva magnitud en l'escala de Richter? A més, determina quantes vegades major és l'amplitud d'un terratrèmol de magnitud $6$ respecte a un de magnitud $4$.

Sabent exclusivament que $\log 2 \approx 0,301$, calcula el valor aproximat de $\log 25$ i de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sense introduir l'operació directa a la calculadora, recolzant-te només en les propietats dels logaritmes.

El nivell d'intensitat sonora, mesurat en decibels (dB), es calcula amb la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, on $I$ és la intensitat del so en $\text{W/m}^2$ i $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el llindar mínim d'audició humana. Si el soroll del trànsit intens en una avinguda registra un nivell de $85$ dB, quina és la seva intensitat acústica $I$? Si un trepant d'obra emet amb el doble d'intensitat acústica que aquest trànsit, quants decibels exactes registrarà el sonòmetre?

La quantitat de carboni 14 ($C-14$) en una resta arqueològica orgànica segueix la llei de desintegració radioactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, on la constant de desintegració és $\lambda \approx 0,0001209$ i $t$ és el temps transcorregut en anys. Si en un fragment d'os prehistòric es detecta mitjançant anàlisi de laboratori que només queda un $30\,\%$ de la seva quantitat original de $C-14$ (és a dir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), quina és l'antiguitat estimada de l'os?

El gràfic següent representa el creixement poblacional de dues colònies de bacteris, A i B, en un laboratori. L'escala de l'eix vertical (que indica el nombre de bacteris $N(t)$) és logarítmica en base 10, mentre que l'eix horitzontal (temps en hores) és d'escala lineal. Observant la recta que descriu el comportament de la colònia A, troba la seva funció exponencial associada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabent que passa exactament pels punts $(0, 10^2)$ i $(4, 10^4)$. En quin instant $t$ la colònia A assolirà exactament el milió de bacteris ($10^6$)?