ESO 4tB · Matemàtiques
Equacions i sistemes · Equacions, inequacions i sistemes
Inequacions
Intervals i què vol dir resoldre una inequació Primer i segon grau: repàs exprés Sistemes d'inequacions Inequacions amb dues incògnites: primera ullada Valor absolut i denominadors Resum
Una inequació pregunta «per a quins valors?» en comptes de «quant exactament?». Aquest apartat repassa tot el que ja coneixes de 3r d'ESO i amplia el panorama: inequacions amb una o amb dues incògnites, amb fraccions, amb valor absolut. Els apartats següents aprofundeixen en cada tipus.
Intervals i què vol dir resoldre una inequació
Una desigualtat entre expressions algebraiques ($<$, $>$, $\leq$ o $\geq$ en lloc de $=$). La seva solució no és un nombre, sinó un conjunt de valors, que s'escriu com a interval.
Representació de l'interval semiobert (-1, més infinit) a la recta real mitjançant un extrem obert a -1.
x > −1
−4 −3 −2 0 1 −1
solució = (−1, +∞)
Observa el tipus de desigualtat i l'extrem dibuixat a la recta.
Mostra la resposta No. Com que és una desigualtat estricta ($>$), l'extrem es representa amb un cercle buit i no pertany a la solució. L'interval solució és $(-1, +\infty)$.
★☆☆ Sense començar
Escriu en forma d'interval i representa a la recta real els valors de $x$ que compleixen la desigualtat $-3 \le x < 5$. Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la… Escriu en forma d'interval i representa a la recta real els valors de $x$ que compleixen la desigualtat $-3 \le x < 5$.
Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.
Resoldre
Primer i segon grau: repàs exprés
Una de primer grau es resol transposant termes, amb una regla extra: en multiplicar o dividir per un negatiu, la desigualtat canvia de sentit . Una de segon grau es resol trobant les arrels i estudiant el signe per trams.
Representació d'intervals a la recta real que mostra la distinció entre extrems oberts amb cercles buits i extrems tancats amb cercles plens.
(x − 2)(x − 3) ≥ 0
2
3
+ − +
solució: (−∞,2] ∪ [3,+∞)
A $x^2-16<0$ no «simplifiquis» dividint entre $x$: factoritza com $(x-4)(x+4)<0$ i estudia els signes. Dividir entre una incògnita pot fer perdre solucions o invertir el sentit sense que te n'adonis.
A $2x < -8$, el nombre que passa dividint és $+2$ (positiu), de manera que la desigualtat no s'inverteix: $x < -4$. No canviïs el sentit només perquè el nombre de l'altre membre tingui signe menys.
La Lucía resol la inequació $-2x < 6$ i escriu com a solució final $x < -3$.
Mostra la resposta La Lucía ha oblidat invertir el sentit de la desigualtat. En dividir els dos membres entre un nombre negatiu ($-2$), el signe canvia de sentit: la solució correcta és $x > -3$.
★☆☆ Sense començar
Resol la següent inequació de primer grau: $4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$ Resol la següent inequació de primer grau:
$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Resol la inequació de segon grau $x^2 - 16 < 0$. Expressa la solució en forma d'interval. Resol la inequació de segon grau $x^2 - 16 < 0$. Expressa la solució en forma d'interval.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Tradueix al llenguatge algebraic i resol: "El triple d'un nombre, disminuït en $4$ unitats, és com a màxim $11$". Tradueix al llenguatge algebraic i resol: "El triple d'un nombre, disminuït en $4$ unitats, és com a màxim $11$".
Resoldre
Sistemes d'inequacions
Resol cada inequació per separat i queda't amb els valors que compleixen totes alhora : la intersecció dels intervals.
Per què? Les inequacions d'un sistema estan unides per la condició lògica «i»: un valor només és vàlid si satisfà totes les condicions al mateix temps.
Intersecció dels intervals (-3, més infinit) i (menys infinit, 4] a la recta real, que dona com a solució l'interval (-3, 4].
A: x > −3
B: x ≤ 4
A ∩ B
(−3, 4]
Resoldre un sistema no consisteix a ajuntar totes les solucions de cada inequació. Només formen part de la solució els valors comuns que compleixen totes alhora (on se superposen a la recta).
Què passa en buscar la intersecció dels dos intervals a la recta real?
Mostra la resposta No existeix cap nombre real que sigui menor que 2 i major que 5 alhora. Com que els intervals no tenen punts en comú, el sistema no té solució (conjunt buit $\emptyset$).
★☆☆ Sense començar
Resol el següent sistema d'inequacions amb una incògnita: $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$ Resol el següent sistema d'inequacions amb una incògnita:
$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Resoldre
★★☆ Sense començar
Troba la solució del següent sistema d'inequacions: $\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$ Troba la solució del següent sistema d'inequacions:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
Resoldre
★★☆ Sense començar
Per aprovar una assignatura, un alumne ha de tenir una nota mitjana de com a mínim $5$ punts en els tres exàmens del trimestre. Si en els dos primers exàmens ha obtingut… Per aprovar una assignatura, un alumne ha de tenir una nota mitjana de com a mínim $5$ punts en els tres exàmens del trimestre. Si en els dos primers exàmens ha obtingut un $3,5$ i un $4,2$, quina nota haurà de treure en el tercer examen per aprovar? (La nota màxima és $10$).
Resoldre
Inequacions amb dues incògnites: primera ullada
Representació d'una inequació lineal amb dues incògnites com un semiplà delimitat per una recta.
3x − 2y ≤ 6
P(4,2) ✗
Q(−1,−1) ✓
Igual que amb una incògnita, una inequació com $3x-2y\leq6$ té per solució un conjunt de punts del pla , no una línia. Per comprovar si un punt és solució, se substitueixen les seves coordenades: si la desigualtat es compleix, el punt és a la regió solució.
Substituïm: $3\cdot2 - 2\cdot(-1) = 6+2 = 8$.
És $8\leq4$? No. $A$ no és solució.
Pas següent (1/2)
Substitueix mentalment les coordenades de l'origen a la inequació.
Mostra la resposta En substituir obtenim $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 > 6$, és a dir, $0 > 6$, que és fals. Per tant, el punt $(0,0)$ no pertany a la regió solució.
★☆☆ Sense començar
Comprova si els punts $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ i $C(-1, -2)$ són solucions de la inequació amb dues incògnites $3x - 2y \le 4$. Comprova si els punts $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ i $C(-1, -2)$ són solucions de la inequació amb dues incògnites $3x - 2y \le 4$.
Resoldre
★★☆ Sense començar
Escriu el sistema d'inequacions amb dues incògnites la solució del qual correspon a la regió ombrada en la següent figura. Escriu el sistema d'inequacions amb dues incògnites la solució del qual correspon a la regió ombrada en la següent figura.
X
Y
r₁
r₂
1
2
Resoldre
Valor absolut i denominadors
Per què? L'expressió $|x - a|$ mesura la distància entre $x$ i $a$ a la recta real; no allunyar-se més de $k$ unitats vol dir quedar-se entre $a - k$ i $a + k$.
Interpretació geomètrica del valor absolut |x - 3| menor o igual que 5 com els punts situats a distància menor o igual que 5 respecte del 3, formant l'interval [-2, 8].
|x − 3| ≤ 5
5
5
−2 0 3 8 solució: [−2, 8]
Amb denominadors, el primer pas és treure'ls multiplicant pel m.c.m. positiu : així el sentit de la desigualtat no canvia.
Recorda quins valors pot prendre per definició un valor absolut.
Mostra la resposta No té solució. El valor absolut representa una distància i mai no pot ser negatiu, de manera que mai no serà menor que $-2$.
★☆☆ Sense començar
Resol la inequació amb valor absolut $|x - 3| \le 5$ i expressa la seva solució mitjançant un interval. Resol la inequació amb valor absolut $|x - 3| \le 5$ i expressa la seva solució mitjançant un interval.
Resoldre
★☆☆ Sense començar
Resol la inequació lineal amb denominadors: $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$ Resol la inequació lineal amb denominadors:
$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resoldre
Resum
La solució d'una inequació s'escriu com a interval : $(a,b)$, $[a,b]$, amb $\infty$ sempre entre parèntesis.
Primer grau: es resol transposant; canvia el sentit en multiplicar o dividir per un negatiu. Segon grau: arrels + taula de signes, mai dividir entre $x$.
Un sistema es resol amb la intersecció de les solucions de cada inequació.
Amb dues incògnites, la solució és una regió del pla : es comprova substituint les coordenades d'un punt.
$|x-a|\leq k$ és una doble desigualtat; $|x-a|\geq k$ són dos trams separats.
← Anterior Problemes amb equacions de segon grauSegüent → Inequacions amb una incògnita