Proporcionalitat directa

Indica quins dels parells de magnituds següents són directament proporcionals, justificant la teva resposta en cada cas:

• El temps que funciona una aixeta a cabal constant i els litres d'aigua que raja.

• L'edat d'una persona i la seva alçada en centímetres.

• El nombre d'obrers que pinten una tanca i el temps que triguen a acabar-la.

• Els quilograms de taronges comprats a la fruiteria i el preu total a pagar.

Les magnituds $A$ i $B$ són directament proporcionals. Sabent que quan $A = 5$, el valor de $B = 15$:

• Calcula la constant de proporcionalitat directa $k = \frac{B}{A}$.

• Si $A = 2$, quant val $B$?

• Si $B = 24$, quant val $A$?

• Si $A = 12$, quant val $B$?

En un mapa dissenyat a escala 1:50.000, la distància mesurada en línia recta entre dos pobles és de 8 cm. Quina és la distància real entre tots dos pobles expressada en quilòmetres?

En una oficina de canvi de divises de l'aeroport, ens informen que per 50 euros ens lliuren 55 dòlars americans. Quants dòlars ens donaran si decidim canviar 320 euros?

En el plànol d'un arquitecte, dibuixat a escala 1:150, la sala d'estar d'un habitatge té forma rectangular i fa 4 cm d'amplada per 6 cm de llargada. Calcula primer l'àrea de la sala d'estar en el plànol i després dedueix quina és la seva àrea real expressada en metres quadrats.

Unes sabatilles que mecosten $60\ \text{€}$ tenen una rebaixa del $25\%$ i, sobre el preu ja rebaixat, s'aplica un cupó addicional del $10\%$ de descompte. Calcula el preu final que es paga per les sabatilles.

La quota mensual d'un gimnàs era de $40\ \text{€}$. Al gener va pujar un $10\%$ i al juny va tornar a pujar un altre $10\%$ sobre la quota vigent. Calcula la quota actual i raona si les dues pujades equivalen a una única pujada del $20\%$.

Indica si l'afirmació següent és veritable o falsa, raonant la teva resposta: «si el preu del lloguer d'un pis puja un $5\%$ un any i l'any següent baixa un $5\%$, el lloguer torna a costar exactament el mateix que al principi». Comprova-ho amb un lloguer inicial de $800\ \text{€}$ i justifica-ho també fent servir els índexs de variació.

Tres socis decideixen obrir un negoci d'hostaleria i aporten un capital inicial de 15.000 €, 25.000 € i 40.000 € respectivament. Al cap d'un any, el negoci ha generat uns beneficis nets de 12.800 €. Si acorden repartir els beneficis de manera directament proporcional al capital aportat per cadascú, quants diners corresponen a cada soci?

Un avi decideix repartir 25.200 € entre els seus tres nets de manera directament proporcional a les seves edats, que són 12, 15 i 18 anys. No obstant això, abans de fer el repartiment oficial, calcula quant li tocaria a cadascun i s'adona que el net mitjà rebria una quantitat concreta. Quina és aquesta quantitat? Calcula també els diners que reben els altres dos nets.

Resol la següent equació basada en una proporció directa, trobant el valor de $x$ que fa que les dues raons siguin equivalents:

$\frac{3x - 1}{4} = \frac{2x + 5}{3}$

Les magnituds $M$ i $N$ són directament proporcionals, amb constant de proporcionalitat $k$. Demostra matemàticament que si el valor de la magnitud $M$ s'incrementa en un $25\%$, el valor corresponent de la magnitud $N$ també s'incrementarà exactament en un $25\%$.

Les variables $X$ i $Y$ són directament proporcionals. S'ha registrat en un experiment que quan $X = m + 2$, el valor de la variable dependent és $Y = 15$. D'altra banda, sota les mateixes condicions, quan $X = m - 2$, el valor és $Y = 9$. Planteja una proporció algebraica per calcular el valor numèric del paràmetre $m$ i, a continuació, determina la constant de proporcionalitat $k = \frac{Y}{X}$.