Concepte de derivada

La taula següent mostra el nombre d'usuaris registrats en una nova aplicació mòbil durant els seus primers mesos després del llançament:

• Mes 1: $100$ usuaris

• Mes 2: $250$ usuaris

• Mes 3: $500$ usuaris

• Mes 4: $850$ usuaris

• Mes 5: $1300$ usuaris

Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) del nombre d'usuaris entre els mesos $2$ i $4$.

Donada la funció $f(x) = x^2$, calcula la taxa de variació mitjana en els intervals $[3; 3,1]$, $[3; 3,01]$ i $[3; 3,001]$. A la vista dels resultats obtinguts, dedueix a quin valor numèric tendeix la TVM quan l'amplitud de l'interval s'acosta a zero i com es denomina matemàticament aquest valor.

Utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit de la taxa de variació mitjana, $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, calcula la derivada de la funció $f(x) = x^2 + 3$ en el punt $x=2$.

Calcula la derivada de la funció afí $f(x) = 5x - 7$ en el punt $x=10$ aplicant la definició de derivada mitjançant límits. Depèn el resultat del punt triat?

Fent ús estricte de la definició de derivada mitjançant el càlcul del límit, troba el valor de $f'(1)$ per a la funció $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la recta secant traçada entre els punts d'abscissa $x=1$ i $x=3$. Calcula visualment la taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[1, 3]$ utilitzant els valors projectats en els eixos.

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ i la seva recta tangent en el punt d'abscissa $x=2$, determina el valor de la derivada $f'(2)$.

Troba l'equació de la recta secant a la corba $f(x) = -x^2 + 6x$ que passa pels punts d'intersecció d'aquesta corba amb l'eix d'abscisses. (Nota: calcula prèviament aquests punts de tall).

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punt d'abscissa $x=3$. Calcula primer el pendent utilitzant la definició de derivada amb límits.

Sabent que la derivada d'una funció $f(x)$ en el punt $x=4$ és $f'(4) = -2$, indica raonadament si la funció és creixent o decreixent en aquest punt. Justifica breument quin significat geomètric té aquest valor respecte a la recta tangent a la corba en aquest punt.

Donada la funció $f(x) = -2x^2 + 12x - 5$, determina si la funció és creixent o decreixent en $x=4$, calculant prèviament la taxa de variació instantània en aquest punt mitjançant la definició de límit.

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i la seva recta tangent traçada en el punt d'abscissa $x=4$. Escriu l'equació de la recta tangent i dedueix el valor de $f'(4)$. Què passa amb el creixement de la funció exactament en aquest punt?

La posició d'un ciclista en una pista recta ve donada per la funció $s(t) = 3t^2 + 2t$ (on $s$ es mesura en metres i $t$ en segons). Calcula la velocitat mitjana del ciclista en l'interval de temps comprès entre $t=1$ i $t=4$ segons.

La distància total recorreguda per un ciclista que baixa un port de muntanya (en metres) en funció del temps ve donada per la funció $e(t) = 150 + 2t + 0,5t^2$ ($t$ en segons). Calcula la taxa de variació mitjana de la distància quan es passa de $t = 20$ a $t = 30$ segons i interpreta el significat físic del resultat obtingut (la velocitat mitjana en aquest tram).

Un objecte es deixa caure des de dalt de tot d'un edifici. La seva altura en metres després de $t$ segons ve donada per l'expressió $h(t) = 45 - 5t^2$. Calcula la velocitat instantània de l'objecte exactament en l'instant $t=2$ segons utilitzant la definició de derivada.

El nombre de seguidors d'un canal de vídeos ve donat per l'expressió $S(x) = -0,1x^2 + 50x - 1000$, on $x$ són els dies transcorreguts des del seu llançament. Calcula $S'(200)$ usant estrictament la definició de derivada mitjançant límits, i interpreta què indica aquest valor sobre el ritme de creixement del canal en aquest moment.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \frac{6}{x}$ en el punt d'abscissa $x=3$. Per a fer-ho, calcula prèviament el pendent aplicant la definició de derivada com el límit de la taxa de variació mitjana.

Troba en quin punt exacte de la paràbola $f(x) = x^2 - 4x + 7$ la recta tangent a la corba és paral·lela a la recta d'equació $y = 2x - 5$. Escriu les coordenades completes $(x, y)$ d'aquest punt.

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ de la funció polinòmica $f(x) = ax^2 + bx$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $(1, 2)$ i que el pendent de la seva recta tangent a $x=1$ és igual a $3$.

Calcula la derivada de la funció amb radicals $f(x) = \sqrt{x+5}$ en el punt $x=4$ utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit. (Suggeriment: per resoldre el límit resultant, multiplica i divideix per l'expressió conjugada).

El vèrtex d'una paràbola correspon al punt on la seva recta tangent és estrictament horitzontal (pendent igual a zero). Utilitzant la definició de derivada mitjançant límits, troba la coordenada $x$ del vèrtex de la paràbola $f(x) = -2x^2 + 12x - 9$ igualant la seva derivada a zero.

El volum d'un cub en funció de la longitud de la seva arista $x$ ve donat per $V(x) = x^3$. Calcula la taxa de variació instantània del volum respecte a l'arista quan $x=5$ cm, utilitzant la definició de límit. Si l'error en mesurar l'arista és molt petit, com afecta proporcionalment al càlcul del volum?

A partir de la gràfica de la funció $f(x)$ i les tres rectes tangents dibuixades en els punts $A$, $B$ i $C$, ordena els valors de les derivades $f'(x_A)$, $f'(x_B)$ i $f'(x_C)$ de menor a major. Justifica la resposta basant-te en el pendent geomètric de cada recta tangent.